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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
15125 5cc66984210b280220ed2672 高中 解答题 自招竞赛 已知正数 $a,b$ 满足 $a+b=1$，求 $M=\sqrt{1+2a^2}+2\sqrt{(\dfrac{5}{12})^2+b^2}$ 的最小值． 2022-04-17 19:48:10
15124 5cce4c71210b280220ed27ff 高中 解答题 自招竞赛 设 $a,b,c$ 均为正实数，求证：$\dfrac{a(a^2+bc)}{b+c}+\dfrac{b(b^2+ca)}{c+a}+\dfrac{c(c^2+ab)}{a+b}\geqslant ab+bc+ca$． 2022-04-17 19:48:10
15121 5cd4df12210b280220ed2ba7 高中 解答题 自招竞赛 求证：对于任意实数 $x,y,z$ 都有 $x^2+2y^2+3z^2\geqslant \sqrt{3}(xy+yz+zx)$． 2022-04-17 19:46:10
15118 5cdb75af210b280220ed2de6 高中 解答题 自招竞赛 设实数 $x_1,x_2,\cdots,x_{2018}$ 满足 $x^2_{n+1}\leqslant x_nx_{n+2}(n=1,2,\cdots,2016)$ 和 $\prod_{n=1}^{2018} x_n=1$，证明：$x_{1009}x_{1010}\leqslant 1$． 2022-04-17 19:44:10
15101 5d103aa5210b280220ed4ae4 高中 解答题 自招竞赛 设 $a,b,c,d$ 为正实数，满足 $ab+cd=1$，点 $P_{i}\left(x_{i}, y_{i}\right)(i = 1,2,3,4)$ 是以原点为圆心的单位圆周上的四个点求证：
$ \left(a y_{1}+b y_{2}+c y_{3}+d y_{4}\right)^{2}+\left(a x_{4}+b x_{3}+c x_{2}+d x_{1}\right)^{2} \leqslant 2\left(\frac{a^{2}+b^{2}}{a b}+\frac{c^{2}+d^{2}}{c d}\right)$		 2022-04-17 19:35:10
15098 5d106852210b280220ed4b9d 高中 解答题 自招竞赛 给定正整数 $n \geqslant 2$，设正整数 $a_{i}(i=1,2, \cdots, n)$ 满足 $a_1<a_{2}<\cdots<a_{n}$ 以及 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{1}{a_{i}} \leqslant 1$．求证：对任意实数 $x$，有 $\displaystyle \left(\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{1}{a_{i}^{2}+x^{2}}\right)^{2} \leqslant \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{a_{1}\left(a_{1}-1\right)+x^{2}}$ 2022-04-17 19:34:10
15085 5d2c4113210b28021fc78631 高中 解答题 自招竞赛 设整数 $n\geqslant 2$，证明：对任意正实数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$，都有 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n} \max \left\{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{i}\right\} \cdot \min \left\{a_{i}, a_{i+1}, \cdots, a_{n}\right\} \leqslant \dfrac{n}{2 \sqrt{n-1}} \cdot \sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}$． 2022-04-17 19:28:10
15060 5d4798ba210b28021fc792ce 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 为正整数．已知 $n$ 个正数 $x_1 , x_2 , \ldots , x_n$ 的乘积为 $1$．证明：$\displaystyle
\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} \sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{i}^{2}} \geqslant \dfrac{n+1}{2} \sqrt{n}
$．		 2022-04-17 19:15:10
15055 5ee70fbe210b28017b0e246c 高中 解答题 高中习题 $m>0>n$，且 $mx_1^2+ny_1^2=mx_2^2+ny_2^2=1$，$x_1x_2>0$，求证：$mx_1x_2+ny_1y_2>1$． 2022-04-17 19:12:10
15049 5ef85dfa210b28017b0e2b80 高中 解答题 自招竞赛 已知函数 $f(x)$ 的定义域 $[0,1], f(0)=f(1)$，且对任意不同的 $x_1,x_2\in [0,1]$，都有 $|f(x_2)-f(x_1)|<|x_2-x_1|$，求证：$|f(x_2)-f(x_1)|<\frac{1}{2}$． 2022-04-17 19:08:10
15028 5f9162a4210b2863acf5ad09 高中 解答题 自招竞赛 设 $a_i,b_i>0$（$1\leqslant i\leqslant n+1$），$b_{i+1}-b_t\geqslant \delta >0$（$\delta$ 为常数）．若 $\displaystyle \sum^n_{k=1}a_i=1$，证明：$$\sum^n_{i=1}\frac{i\sqrt[i]{a_1a_2\ldots a_ib_1b_2\ldots b_i}}{b_{i+1}b_i}<\frac{1}{\delta}.$$ 2022-04-17 19:55:09
15016 600134a4210b281da2ea2d48 高中 解答题 自招竞赛 已知 $n$ 为正整数，$x_i\in [0,1]$（$i=1,2,\ldots ,n$）．证明：$$\left(\sum^n_{i=1}x_i+1\right)^2\geqslant 4\sum^n_{i=1}x^2_i.$$ 2022-04-17 19:49:09
15002 60223b0025bdad000ac4d4e2 高中 解答题 自招竞赛 设 $a,b$ 为正数，二次三项式 $y^2-ay+b$ 的判别式 $\triangle$ 满足 $0<\triangle <2a$．证明：不等式$$x^4-(a+1)x^2-\sqrt{\triangle}x+b\leqslant 0$$的解集总长度等于 $2$ 的两个区间的并集． 2022-04-17 19:41:09
15001 602e081125bdad000ac4d54f 高中 解答题 自招竞赛 设二次函数 $f(x)=x^2+bx+c$．已知对任意的实数 $b$，都存在实数 $x\in [1,2]$，使得不等式 $|f(x)|\geqslant x$ 成立，求实数 $c$ 的取值范围． 2022-04-17 19:41:09
15000 602e0abc25bdad000ac4d560 高中 解答题 自招竞赛 设 $x_1,x_2,\ldots, x_n$ 是正实数，且满足 $\displaystyle \sum^n_{i=1}x_i^2=n, \sum^n_{i=1}x_i\geqslant S>0$．证明：对任意 $\lambda\in [0,1]$，这 $n$ 个数中至少有 $\left[\frac{S^2(1-\lambda)^2}{n}\right]$ 个数大于 $\frac{\lambda S}{n}$． 2022-04-17 19:41:09
14989 6041c22f25bdad000ac4d941 高中 解答题 高中习题 设 $x,y,z$ 是正实数，证明：$$\sum{\frac{x}{\sqrt{2(x^2+y^2)}}}<\sum{\frac{4x^2+y^2}{x^2+4y^2}}<9$$ 2022-04-17 19:35:09
14988 604877c225bdad000ac4da3e 高中 解答题 高中习题 设 $a,b,c,d$ 均为实数，且 $b-d\geqslant 5$，多项式 $P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ 的所有零点 $x_1,x_2,x_3,x_4$ 均为实数．求 $(x_1^2+1)(x_2^2+1)(x_3^2+1)(x_4^2+1)$ 的最小值． 2022-04-17 19:35:09
11688 590a8de16cddca00078f3828 高中 填空题 高中习题 若不等式 $\left(x+3+2\sin\theta\cos\theta\right)^2+\left(x+a\cos\theta+a\sin\theta\right)^2\geqslant \dfrac 18$ 对任意实数 $x$ 和 $\theta\in\left[0,\dfrac{\pi}2\right]$ 恒成立，满足要求的实数 $a$ 的取值范围构成集合 $A$，$\complement_{\mathbb{R}}A$ 的上界和下界分别为 $M, m$，则 $m\cdot M=$  ． 2022-04-16 22:20:33
11632 59647c2a22a5da0009864159 高中 填空题 自招竞赛 函数 $y=a^{x+3}-2$（$a>0$ 且 $a\ne1$）的图象恒过定点 $A$．若点 $A$ 在直线 $\dfrac{x}{m}+\dfrac{y}{n}+1=0$ 上，且 $m,n>0$，则 $3m+n$ 的最小值为  ． 2022-04-16 22:49:32
11618 59672e0c030398000978b365 高中 填空题 自招竞赛 设 $x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\geqslant 1$，则 $x^2+y^2=$  ． 2022-04-16 22:42:32
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