设 $a,b,c,d$ 均为实数，且 $b-d\geqslant 5$，多项式 $P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ 的所有零点 $x_1,x_2,x_3,x_4$ 均为实数．求 $(x_1^2+1)(x_2^2+1)(x_3^2+1)(x_4^2+1)$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
16
【解析】
由韦达定理得$$b-d=x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4-x_1x_2x_3x_4\geqslant 5$$$$x_1(x_2+x_3+x_4-x_2x_3x_4)+(x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4-1)\geqslant 4$$由柯西不等式得$$4^2\leqslant (x_1^2+1)+[(x_2+x_3+x_4-x_2x_3x_4)^2+(x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4-1)^2]=(x_1^2+1)(x_2^2+1)(x_3^2+1)(x_4^2+1)$$当 $x_1=x_2=x_3=x_4=1$ 时，$(x_1^2+1)(x_2^2+1)(x_3^2+1)(x_4^2+1)$ 取得最小值 $16$．
答案
解析
备注
