设 $x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\geqslant 1$，则 $x^2+y^2=$ ．
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛吉林省预赛
【标注】
【答案】
$1$
【解析】
由柯西不等式：$$x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\leqslant \sqrt {(1-y^2+y^2)(x^2+1-x^2)}=1,$$等号成立当且仅当$$x^2y^2=(1-x^2)(1-y^2),$$即$$x^2+y^2=1.$$结合题设条件，有$$x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\geqslant 1,$$所以等号必须成立，因此 $x^2+y^2=1$．
题目
答案
解析
备注
