若不等式 $\left(x+3+2\sin\theta\cos\theta\right)^2+\left(x+a\cos\theta+a\sin\theta\right)^2\geqslant \dfrac 18$ 对任意实数 $x$ 和 $\theta\in\left[0,\dfrac{\pi}2\right]$ 恒成立，满足要求的实数 $a$ 的取值范围构成集合 $A$，$\complement_{\mathbb{R}}A$ 的上界和下界分别为 $M, m$，则 $m\cdot M=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$-21$
【解析】
原不等式即$$\left[x+2+\left(\sin\theta+\cos\theta\right)^2\right]^2+\left[x+a\left(\sin\theta+\cos\theta\right)\right]^2\geqslant \dfrac 18.$$设 $A(x+2,x)$，$B\left(-\left(\sin\theta+\cos\theta\right)^2,-a\left(\sin\theta+\cos\theta\right)\right)$，则不等式左边的几何意义是 $A,B$ 之间距离的平方．点 $A$ 在直线 $y=x-2$ 上运动，点 $B$ 在曲线 $y^2=-a^2x$（$x\in [-\sqrt 2,-1]$）上运动，如图．
当 $a\leqslant 0$ 时，$B$ 的纵坐标非负，一定满足题意；
当 $a>0$ 时，设下方曲线段端点分别为 $P\left(-\sqrt 2,-\sqrt{a^2\sqrt 2}\right)$，$Q\left(-1,-\sqrt{a^2}\right)$，进而可以计算出下列临界值：
情形一 $P$ 在直线 $y=x-\dfrac 32$ 上，此时 $a^2=3+\dfrac{17\sqrt 2}8$；
情形二 $Q$ 在直线 $y=x-\dfrac 32$ 上，此时 $a^2=\dfrac{25}{4}$；
情形三 $PQ$ 与直线 $y=x-\dfrac 32$ 相切，此时 $a^2=6$；
情形四 $Q$ 在直线 $y=x-\dfrac 52$ 上，此时 $a^2=\dfrac{49}{4}$．
所以当 $a>0$ 时，有 $a^2\in [0,6]\cup \left[\dfrac{49}4,+\infty\right)$，于是 $\left(-\infty,-6\right]\cup\left[\dfrac 72,+\infty\right)$ 为所求取值范围．
当 $a\leqslant 0$ 时，$B$ 的纵坐标非负，一定满足题意；当 $a>0$ 时，设下方曲线段端点分别为 $P\left(-\sqrt 2,-\sqrt{a^2\sqrt 2}\right)$，$Q\left(-1,-\sqrt{a^2}\right)$，进而可以计算出下列临界值：
所以当 $a>0$ 时，有 $a^2\in [0,6]\cup \left[\dfrac{49}4,+\infty\right)$，于是 $\left(-\infty,-6\right]\cup\left[\dfrac 72,+\infty\right)$ 为所求取值范围．
题目
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