函数 $y=a^{x+3}-2$（$a>0$ 且 $a\ne1$）的图象恒过定点 $A$．若点 $A$ 在直线 $\dfrac{x}{m}+\dfrac{y}{n}+1=0$ 上，且 $m,n>0$，则 $3m+n$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛河北省预赛（高二）
【标注】
【答案】
$16$
【解析】
因为函数 $y=a^{x+3}-2$（$a>0$ 且 $a\ne1$）的图象恒过定点 $(-3,-1)$，所以点 $A$ 的坐标为 $(-3,-1)$，因此$$\dfrac{-3}{m}+\dfrac{-1}{n}+1=0,$$即$$\dfrac{3}{m}+\dfrac{1}{n}=1,$$所以$$\begin{split}3m+n&=(3m+n)\cdot\left(\dfrac{3}{m}+\dfrac{1}{n}\right)\\ &=10+\dfrac{3n}{m}+\dfrac{3m}{n}\geqslant16,\end{split}$$当且仅当 $m=n=4$ 时，等号成立．
因此 $3m+n$ 的最小值为 $16$．
因此 $3m+n$ 的最小值为 $16$．
题目
答案
解析
备注
