已知函数 $f(x)$ 的定义域 $[0,1], f(0)=f(1)$，且对任意不同的 $x_1,x_2\in [0,1]$，都有 $|f(x_2)-f(x_1)|<|x_2-x_1|$，求证：$|f(x_2)-f(x_1)|<\frac{1}{2}$．
【难度】
【出处】
2020年全国高中数学联赛新疆赛区预赛
【标注】
【答案】
见解析
【解析】
证明 设 $0\leqslant x_1<x_2\leqslant 1$．
⑴若 $0<x_2-x_1\leqslant \frac{1}{2}$，则 $|f(x_2)-f(x_1)|<|x_2-x_1|\leqslant \frac{1}{2}$，即 $|f(x_2)-f(x_1)<\frac{1}{2}$；
⑵若 $\frac{1}{2}<x_2-x_1<1$，则$$\begin{aligned}f(x_2)-f(x_1)|
&=|f(x_2)+f(0)-f(1)-f(x_1)|\\
&=|f(x_2)-f(1)+f(0)-f(x_1)|\\
&\leqslant |f(x_2)-f(1)|+|f(0)-f(x_1)|\\
&<|x_2-1|+|x_1-0|\end{aligned}$$而 $|x_2-1|+|x_1|=1-x_2+x_1=1-(x_2-x_1)
<1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，所以 $|f(x_2)-f(x_1)|<\frac{1}{2}$．
综上所述，对任意不同的 $x_1,x_2\in [0,1]$ 都有 $|f(x_2)-f(x_1)|<\frac{1}{2}$．
⑴若 $0<x_2-x_1\leqslant \frac{1}{2}$，则 $|f(x_2)-f(x_1)|<|x_2-x_1|\leqslant \frac{1}{2}$，即 $|f(x_2)-f(x_1)<\frac{1}{2}$；
⑵若 $\frac{1}{2}<x_2-x_1<1$，则$$\begin{aligned}f(x_2)-f(x_1)|
&=|f(x_2)+f(0)-f(1)-f(x_1)|\\
&=|f(x_2)-f(1)+f(0)-f(x_1)|\\
&\leqslant |f(x_2)-f(1)|+|f(0)-f(x_1)|\\
&<|x_2-1|+|x_1-0|\end{aligned}$$而 $|x_2-1|+|x_1|=1-x_2+x_1=1-(x_2-x_1)
<1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，所以 $|f(x_2)-f(x_1)|<\frac{1}{2}$．
综上所述，对任意不同的 $x_1,x_2\in [0,1]$ 都有 $|f(x_2)-f(x_1)|<\frac{1}{2}$．
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解析
备注
