设 $n$ 为正整数．已知 $n$ 个正数 $x_1 , x_2 , \ldots , x_n$ 的乘积为 $1$．证明：$\displaystyle
\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} \sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{i}^{2}} \geqslant \dfrac{n+1}{2} \sqrt{n}
$．
\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} \sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{i}^{2}} \geqslant \dfrac{n+1}{2} \sqrt{n}
$．
【难度】
【出处】
2016中国东南数学奥林匹克试题(高二)
【标注】
【答案】
略
【解析】
由条件可知，
$\begin{aligned}&\sum_{i=1}^{n}x_i \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_i^2 } \\ \geqslant & \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_i}{\sqrt{i}}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i}\frac{x_i x_j}{\sqrt{i}} \\ \geqslant & \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i}x_i x_j = \frac{1}{2\sqrt{n}}\sum_{1\leqslant j\leqslant i\leqslant n}2x_i x_j \\ =&\frac{1}{2\sqrt{n}}\left(\sum_{i=1}^{n}x_i^2 + \left(\sum_{k=1}^{n}x_k \right)^2 \right) \\ \geqslant & \frac{1}{2\sqrt{n}}\left[ n\cdot\sqrt[n]{x_1^2 x_2^2 \ldots x_n^2 }+\left(n\cdot \sqrt[n]{x_1 x_2 \ldots x_n }\right)^2 \right] \\ =& \frac{n+n^2 }{2\sqrt{n}}=\frac{n+1}{2}\sqrt{n}. \end{aligned}$
$\begin{aligned}&\sum_{i=1}^{n}x_i \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_i^2 } \\ \geqslant & \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_i}{\sqrt{i}}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i}\frac{x_i x_j}{\sqrt{i}} \\ \geqslant & \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i}x_i x_j = \frac{1}{2\sqrt{n}}\sum_{1\leqslant j\leqslant i\leqslant n}2x_i x_j \\ =&\frac{1}{2\sqrt{n}}\left(\sum_{i=1}^{n}x_i^2 + \left(\sum_{k=1}^{n}x_k \right)^2 \right) \\ \geqslant & \frac{1}{2\sqrt{n}}\left[ n\cdot\sqrt[n]{x_1^2 x_2^2 \ldots x_n^2 }+\left(n\cdot \sqrt[n]{x_1 x_2 \ldots x_n }\right)^2 \right] \\ =& \frac{n+n^2 }{2\sqrt{n}}=\frac{n+1}{2}\sqrt{n}. \end{aligned}$
答案
解析
备注
