设 $x,y,z$ 是正实数，证明：$$\sum{\frac{x}{\sqrt{2(x^2+y^2)}}}<\sum{\frac{4x^2+y^2}{x^2+4y^2}}<9$$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
右边：令 $x\geqslant y,z$，则 $\frac{4x^2+y^2}{x^2+4y^2}<4$，$\frac{4y^2+z^2}{y^2+4z^2}<4$，$\frac{4z^2+x^2}{z^2+4x^2}\leqslant 1$．三式相加得证．
左边：由均值不等式得 $4xy^2\leqslant y^3+4x^2y$．则 $y^3+4x^2y+4x^3+xy^2>4xy^2+x^3\Rightarrow \frac{4x^2+y^2}{x^2+4y^2}>\frac{x}{x+y}$．故$$\sum{\frac{4x^2+y^2}{x^2+4y^2}}>\sum{\frac{x}{x+y}}$$由柯西不等式，有$$\sum{\frac{4x^2+y^2}{x^2+4y^2}}>\sum{\frac{x}{x+y}}\geqslant \sum{\frac{x}{\sqrt{2(x^2+y^2)}}}$$左边得证．
左边：由均值不等式得 $4xy^2\leqslant y^3+4x^2y$．则 $y^3+4x^2y+4x^3+xy^2>4xy^2+x^3\Rightarrow \frac{4x^2+y^2}{x^2+4y^2}>\frac{x}{x+y}$．故$$\sum{\frac{4x^2+y^2}{x^2+4y^2}}>\sum{\frac{x}{x+y}}$$由柯西不等式，有$$\sum{\frac{4x^2+y^2}{x^2+4y^2}}>\sum{\frac{x}{x+y}}\geqslant \sum{\frac{x}{\sqrt{2(x^2+y^2)}}}$$左边得证．
答案
解析
备注
