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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
20648 5927931d74a309000798cdf1 高中 解答题 高考真题 设函数 $f\left(x\right) = \ln \left(1 + x\right) - \dfrac{2x}{x + 2}$，证明：当 $x>0$ 时，$f\left(x\right)>0$； 2022-04-17 20:43:01
17182 5e65ce07210b280d3611184b 高中 解答题 高考真题 已知函数 $f(x)=2x^3-ax^2+2$．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）当 $0<a<3$ 时，记 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 的最大值为 $M$，最小值为 $m$，求 $M-m$ 的取值范围．		 2022-04-17 19:57:29
17174 5e61b8b0210b280d361117a4 高中 解答题 高考真题 已知函数 $f(x)=(x-1)\ln x-x-1$．证明：
（1）$f(x)$ 存在唯一的极值点；
（2）$f(x)=0$ 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．		 2022-04-17 19:52:29
17168 5e5f1cbf210b280d361116fd 高中 解答题 高考真题 已知函数 $f(x)=2\sin x-x\cos x-x$，$f^\prime(x)$ 为 $f(x)$ 的导数．
（1）证明：$f^\prime(x)$ 在区间 $(0,\pi)$ 存在唯一零点；
（2）若 $x\in[0,\pi]$ 时，$f(x)\geqslant ax$，求 $a$ 的取值范围．		 2022-04-17 19:49:29
17159 5e5c7cef210b280d3782240e 高中 解答题 高考真题 设函数 $f(x) =\ln x-a(x-1)e^x$，其中 $ a\in\mathbb{R} $．
（I）若 $ a\leqslant 0 $，讨论 $ f(x)$ 的单调性；
（II）若 $ 0<a<\dfrac{1}{e} $
（i）证明 $ f(x)$ 恰有两个零点；
（ii）设 $ x_0 $ 为 $ f(x)$ 的极值点，$ x_1 $ 为 $ f(x)$ 的零点，且 $ x_1>x_0 $，证明 $ 3x_0-x_1>2$．		 2022-04-17 19:44:29
17154 5e574631210b280d36111599 高中 解答题 高考真题 已知实数 $a\ne 0$，设函数 $f(x)=a\ln x+\sqrt{1+x},x>0$．
（I）当 $a=-\dfrac{3}{4}$ 时，求函数 $f(x)$ 的单调区间；
（II）对任意 $x\in\left[\dfrac{1}{e^2},+\infty\right]$ 均有 $f(x)\leqslant \dfrac{\sqrt{x}}{2a}$，求 $a$ 的取值范围．		 2022-04-17 19:42:29
17147 5e548b6c210b280d378222f7 高中 解答题 高考真题 设函数 $f(x)=e^x\cos x$，$g(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数．
（I）求 $f(x)$ 的单调区间；
（II）当 $x\in\left[\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right]$ 时，证明 $f(x)+g(x)\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)\geqslant 0$；
（III）设 $x_n$ 为函数 $u(x)=f(x)-1$ 在区间 $\left(2n\pi+\dfrac{\pi}{4},2n\pi+\dfrac{\pi}{2}\right)$ 内的零点，其中 $n\in\mathbb{N}$，证明 $2n\pi+\dfrac{\pi}{2}x_n<\dfrac{e^{-2n\pi}}{\sin x_0-\cos x_0}$．		 2022-04-17 19:39:29
17141 5e4f6700210b280d37822286 高中 解答题 高考真题 已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{4}x^3-x^2+x$．
（I）求曲线 $y=f(x)$ 的斜率为 $1$ 的切线方程；
（II）当 $x\in[-2,4]$ 时，求证：$x-6\leqslant f(x)\leqslant x$；
（III）设 $F(x)=|f(x)-(x+a)|(a\in\mathbb{R})$，记 $F(x)$ 在区间 $[-2,4]$ 上的最大值为 $M(a)$．当 $M(a)$ 最小时，求 $a$ 的值．		 2022-04-17 19:36:29
17136 5e4caa4b210b280d36111305 高中 解答题 高考真题 已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{4}x^3-x^2+x$．
（I）求曲线 $y=f(x)$ 的斜率为 $1$ 的切线方程；
（II）当 $x\in[-2,4]$ 时，求证：$x-6\leqslant f(x)\leqslant x$；
（III）设 $F(x)=|f(x)-(x+a)|(a\in\mathbb{R})$，记 $F(x)$ 在区间 $[-2,4]$ 上的最大值为 $M(a)$．当 $M(a)$ 最小时，求 $a$ 的值．		 2022-04-17 19:32:29
17129 5e4a0187210b280d37822085 高中 解答题 高考真题 设函数 $f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),a,b,c\in\mathbb{R}$、$f^\prime(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数．
（1）若 $a=b=c,f(4)=8$，求 $a$ 的值；
（2）若 $a\ne b,b=c$，且 $f(x)$ 和 $f^\prime(x)$ 的零点均在集合 $\{-3,1,3\}$ 中，求 $f(x)$ 的极小值；
（3）若 $a=0,0<b,c=1$，且 $f(x)$ 的极大值为 $M$，求证：$M\leqslant \dfrac{4}{27}$．		 2022-04-17 19:29:29
17128 5e4a03cf210b280d3782208e 高中 解答题 高考真题 定义首项为 $1$ 且公比为正数的等比数列为“$M-$ 数列”．
（1）已知等比数列 $\{a_n\}(n\in\mathbb{N}^{\ast})$ 满足：$a_2a_4=a_5,a_3-4a_2+4a_4=0$，求证：数列 $\{a_n\}$ 为“$M-$ 数列”；
（2）已知数列 $\{b_n\}$ 满足：$b_1=1,\dfrac{1}{S_n}=\dfrac{2}{b_n}-\dfrac{2}{b_{n+1}}$，其中 $S_n$ 为数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和．
① 求数列 $\{b_n\}$ 的通项公式；
② 设 $m$ 为正整数，若存在“$M－$ 数列”$\{c_n\}(n\in\mathbb{N}^{\ast})$，对任意正整数 $k$，当 $k\leqslant m$ 时，都有 $c_k\leqslant b_k\leqslant c_{k+1}$ 成立，求 $m$ 的最大值．		 2022-04-17 19:29:29
17118 5e44be38210b280d37821ff3 高中 解答题 高考真题 已知函数 $f(x)=\sin x-\ln (1+x)$，$f^\prime(x)$ 为 $f(x)$ 的导数．证明：
（1）$f^\prime(x)$ 在区间 $\left(-1,\dfrac{\pi}{2}\right)$ 存在唯一极大值点；
（2）$f(x)$ 有且仅有 $2$ 个零点．		 2022-04-17 19:24:29
17111 5e426b62210b280d36111029 高中 解答题 高考真题 已知函数 $f(x)=\ln x-\dfrac{x+1}{x-1}$．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性，并证明 $f(x)$ 有且仅有两个零点；
（2）设 $x_0$ 是 $f(x)$ 的一个零点，证明曲线 $y=\ln x $ 在点 $A(x_0,\ln x_0)$ 处的切线也是曲线 $y=e^x$ 的切线．		 2022-04-17 19:19:29
17104 5e3cd208210b286bd53192a7 高中 解答题 高考真题 已知函数 $f(x)=2x^3-ax^2+b$．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）是否存在 $a,b$，使得 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 的最小值为 $-1$ 且最大值为 $1$？若存在，求出 $a,b$ 的所有值；若不存在，说明理由．		 2022-04-17 19:16:29
17094 5ce4eed2210b280220ed32dc 高中 解答题 高考真题 已知函数 $f(x)=\sqrt{x}-\ln{x}$． 2022-04-17 19:10:29
17091 5ce4e2b6210b280220ed329e 高中 解答题 高考真题 已知函数 $f(x)=(2+x+ax^2)\ln(1+x)-2x$ 2022-04-17 19:08:29
17014 599165ca2bfec200011e1ca0 高中 解答题 高考真题 已知函数 $f(x)=ax^{2}-ax-x\ln x$，且 $f(x)\geqslant 0$． 2022-04-17 19:26:28
17008 599165ca2bfec200011e1c5a 高中 解答题 高考真题 已知函数 $f(x)=x-1-a\ln x$． 2022-04-17 19:21:28
16995 599165ca2bfec200011e1b47 高中 解答题 高考真题 已知函数 $f(x)=x^2+2\cos x$，$g(x)={\rm e}^x(\cos x-\sin x+2x-2)$，其中 ${\rm e}=2.71828\cdots$ 是自然对数的底数． 2022-04-17 19:12:28
16987 599165ca2bfec200011e1af8 高中 解答题 高考真题 已知函数 $f(x)=x^3+ax^2+bx+1$（$a>0$，$b\in\mathbb R$）有极值，且导函数 $f'(x)$ 的极值点是 $f(x)$ 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值．） 2022-04-17 19:09:28
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