题目 已知函数 $f(x)=x^3+ax^2+bx+1$（$a>0$，$b\in\mathbb R$）有极值，且导函数 $f'(x)$ 的极值点是 $f(x)$ 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值．） 问题1 求 $b$ 关于 $a$ 的函数关系式，并写出定义域； 答案1 $ b=\dfrac 29a^2+\dfrac 3a,a\in(3,+\infty) $ 解析1 函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=3x^2+2ax+b,\]函数 $f(x)$ 有极值，因此\[\Delta=(2a)^2-4\cdot 3\cdot b=4a^2-12b>0.\]函数 $f'(x)$ 的导函数\[f''(x)=6x+2a,\]于是 $f'(x)$ 的极值点为 $x=-\dfrac a3$．根据题意，有\[f\left(-\dfrac a3\right)=\dfrac {2a^3}{27}-\dfrac{ab}3+1=0,\]即\[b=\dfrac 29a^2+\dfrac 3a,\]这样就有\[4a^2-12\cdot \left(\dfrac 29a^2+\dfrac 3a\right)>0,\]解得 $a>3$．因此 $b$ 关于 $a$ 的函数关系式为\[b=\dfrac 29a^2+\dfrac 3a,a\in(3,+\infty).\] 备注1 问题2 证明：$b^2>3a$； 答案2 解析2 根据第（1）小题的结果，只需要证明当 $a>3$ 时，有\[\left(\dfrac 29a^2+\dfrac 3a\right)^2>3a.\]由均值不等式，有\[LHS=\left(\dfrac {a^2}9+\dfrac{a^2}9+\dfrac 3a\right)^2\geqslant \left[3\left(\dfrac {a^2}9\cdot \dfrac{a^2}9\cdot \dfrac 3a\right)^{\frac 13}\right]^2=a^2>3a,\]因此原不等式得证． 备注2 问题3 若 $f(x),f'(x)$ 这两个函数的所有极值之和不小于 $-\dfrac 72$，求 $a$ 的取值范围． 答案3 $(3,6]$ 解析3 对于三次函数 $f(x)$，其对称中心的横坐标即其导函数 $f'(x)$ 的极值点．而由三次函数的对称性，函数 $f(x)$ 的极值之和为其对称中心纵坐标的 $2$ 倍，即 $2f\left(-\dfrac a3\right)=0$．而函数 $f'(x)$ 的极值为二次函数\[y=3x^2+2ax+b\]的顶点纵坐标 $b-\dfrac{a^2}{3}$．根据题意，有\[b-\dfrac{a^2}{3}\geqslant -\dfrac 72,\]将 $b=\dfrac 29a^2+\dfrac 3a$ 代入，可得\[\dfrac 3a-\dfrac {a^2}9\geqslant -\dfrac 72,\]即\[-\dfrac{(a-6)(2a^2+12a+9)}{18a}\geqslant 0,\]因此 $a$ 的取值范围是 $(3,6]$． 备注3