已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{4}x^3-x^2+x$．
（I）求曲线 $y=f(x)$ 的斜率为 $1$ 的切线方程；
（II）当 $x\in[-2,4]$ 时，求证：$x-6\leqslant f(x)\leqslant x$；
（III）设 $F(x)=|f(x)-(x+a)|(a\in\mathbb{R})$，记 $F(x)$ 在区间 $[-2,4]$ 上的最大值为 $M(a)$．当 $M(a)$ 最小时，求 $a$ 的值．
（I）求曲线 $y=f(x)$ 的斜率为 $1$ 的切线方程；
（II）当 $x\in[-2,4]$ 时，求证：$x-6\leqslant f(x)\leqslant x$；
（III）设 $F(x)=|f(x)-(x+a)|(a\in\mathbb{R})$，记 $F(x)$ 在区间 $[-2,4]$ 上的最大值为 $M(a)$．当 $M(a)$ 最小时，求 $a$ 的值．
【难度】
【出处】
2019年高考北京卷（理）
【标注】
【答案】
略
【解析】
（I）由 $f(x)=\dfrac{1}{4}x^3-x^2+x$ 得 $f^\prime(x)=\dfrac{3}{4}x^2-2x+1$．
令 $f^\prime(x)=1$，即 $\dfrac{3}{4}x^2-2x+1=1$，得 $x=0$ 或 $x=\dfrac{8}{3}$．
又 $f(0)=0,f\left(\dfrac{8}{3}\right)=\dfrac{8}{27}$，
所以曲线 $y=f(x)$ 的斜率为 $1$ 的切线方程是 $y=x$ 与 $y-\dfrac{8}{27}=x-\dfrac{8}{3}$．
即 $y=x$ 或 $y=x-\dfrac{64}{27}$．
（II）令 $g(x)=f(x)-x,x\in[-2,4]$．
由 $g(x)=\dfrac{1}{4}x^3-x^2$ 得 $g^\prime(x)=\dfrac{3}{4}x^2-2x$．
令 $g^\prime(x)=0$ 得 $x=0$ 或 $x=\dfrac{8}{3}$．
$g^\prime(x),g(x)$ 的情况如下：\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x&-2&(-2,0)&0&\left(0,\dfrac{8}{3}\right)&\dfrac{8}{3}&\left(\dfrac{8}{3},4\right)&4\\\hline g^\prime(x)&&+&&-&&+&\\\hline g(x)&-6&\nearrow&0&\searrow&-\dfrac{64}{27}&\nearrow &0\\\hline\end{array}\]所以 $g(x)$ 的最小值为 $-6$，最大值为 $0$．
故 $-6\leqslant g(x)\leqslant 0$，即 $x-6\leqslant f(x)\leqslant x$．
（III）由（II）知
当 $a<-3$ 时，$M(a)\geqslant F(0)=|g(0)-a|=-a>3$；
当 $a>-3$ 时，$M(a)\geqslant F(-2)=|g(-2)-a|=6+a>3$；
当 $a=-3$ 时，$M(a)\geqslant =3$．
综上，当 $M(a)$ 最小时，$a=-3$．
令 $f^\prime(x)=1$，即 $\dfrac{3}{4}x^2-2x+1=1$，得 $x=0$ 或 $x=\dfrac{8}{3}$．
又 $f(0)=0,f\left(\dfrac{8}{3}\right)=\dfrac{8}{27}$，
所以曲线 $y=f(x)$ 的斜率为 $1$ 的切线方程是 $y=x$ 与 $y-\dfrac{8}{27}=x-\dfrac{8}{3}$．
即 $y=x$ 或 $y=x-\dfrac{64}{27}$．
（II）令 $g(x)=f(x)-x,x\in[-2,4]$．
由 $g(x)=\dfrac{1}{4}x^3-x^2$ 得 $g^\prime(x)=\dfrac{3}{4}x^2-2x$．
令 $g^\prime(x)=0$ 得 $x=0$ 或 $x=\dfrac{8}{3}$．
$g^\prime(x),g(x)$ 的情况如下：\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x&-2&(-2,0)&0&\left(0,\dfrac{8}{3}\right)&\dfrac{8}{3}&\left(\dfrac{8}{3},4\right)&4\\\hline g^\prime(x)&&+&&-&&+&\\\hline g(x)&-6&\nearrow&0&\searrow&-\dfrac{64}{27}&\nearrow &0\\\hline\end{array}\]所以 $g(x)$ 的最小值为 $-6$，最大值为 $0$．
故 $-6\leqslant g(x)\leqslant 0$，即 $x-6\leqslant f(x)\leqslant x$．
（III）由（II）知
当 $a<-3$ 时，$M(a)\geqslant F(0)=|g(0)-a|=-a>3$；
当 $a>-3$ 时，$M(a)\geqslant F(-2)=|g(-2)-a|=6+a>3$；
当 $a=-3$ 时，$M(a)\geqslant =3$．
综上，当 $M(a)$ 最小时，$a=-3$．
答案
解析
备注
