已知函数 $f(x)=2x^3-ax^2+b$．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）是否存在 $a,b$，使得 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 的最小值为 $-1$ 且最大值为 $1$？若存在，求出 $a,b$ 的所有值；若不存在，说明理由．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）是否存在 $a,b$，使得 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 的最小值为 $-1$ 且最大值为 $1$？若存在，求出 $a,b$ 的所有值；若不存在，说明理由．
【难度】
【出处】
2019年高考全国III卷（理）
【标注】
【答案】
略
【解析】
（1）$f^\prime(x)=6x^2 -2ax=2x(3x-a)$．
令 $ f^\prime(x)=0 $，得 $ x=0 $ 或 $ x=\dfrac{a}{3}$．
若 $a>0$，则当 $x\in (-\infty,0)\bigcup \left(\dfrac{a}{3},+\infty\right)$ 时，$f^\prime(x)>0$；当 $x\in\left(0,\dfrac{a}{3}\right)$ 时，$f^\prime(x)<0$．故 $f(x)$ 在 $\left(-\infty,\dfrac{a}{3}\right)$ 单调递增，在 $(\dfrac{a}{3})$ 单调递减；
若 $a=0$，$f(x)$ 在 $(+\infty,-\infty)$ 单调递增；
若 $a<0$，则当 $x\in \left(-\infty,\dfrac{a}{3}\right)\bigcup (0,\infty)$ 时，$f^\prime(x)>0$；当 $x\in\left(\dfrac{a}{3},0\right)$ 时，$f^\prime(x)<0$．故 $f(x)$ 在 $\left(-\infty,\dfrac{a}{3}\right),(0,+\infty)$ 单调递增，在 $\left(\dfrac{a}{3},0\right)$ 单调递减．
（2）满足题设条件的 $a,b$ 存在．
（i）当 $a\leqslant 0$ 时，由（1）知，$f(x)$ 在 $[0,1]$ 单调递增，所以 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 的最小值为 $f(0)=b$，最大值为 $f(1)=2-a+b$．此时 $a,b$ 满足题设条件当且仅当 $b=-1,2-a+b=1$，即 $a=0,b=-1$．
（ii）当 $a≥3$ 时，由（1）知，$f(x)$ 在 $[0,1]$ 单调递减，所以 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 的最大值为 $f(0)=b$，最小值为 $f(1)=2-a+b$．此时 $a,b$ 满足题设条件当且仅当 $2-a+b=-1,b=1$，即 $a=4,b=1$．
（iii）当 $0<a<3$ 时，由（1）知，$f(x)$ 在 $[0,1]$ 的最小值为 $f\left(\dfrac{a}{3}\right)=-\dfrac{a^3}{27}+b$，最大值为 $b$ 或 $2-a+b$．
若 $-\dfrac{a^3}{27}+b=-1,b=1$，则 $a=3\sqrt[3]{2}$，与 $0<a<3$ 矛盾．
若 $-\dfrac{a^3}{27}+b=-1,2-a+b=1$，则 $a=3\sqrt{3}$ 或 $a=-3\sqrt{3}$ 或 $a=0$，与 $0<a<3$ 矛盾．
综上，当且仅当 $a=0,b=-1$ 或 $a=4,b=1$ 时，$f(x)$ 在 $[0,1]$ 的最小值为 $–1$，最大值为 $1$．
令 $ f^\prime(x)=0 $，得 $ x=0 $ 或 $ x=\dfrac{a}{3}$．
若 $a>0$，则当 $x\in (-\infty,0)\bigcup \left(\dfrac{a}{3},+\infty\right)$ 时，$f^\prime(x)>0$；当 $x\in\left(0,\dfrac{a}{3}\right)$ 时，$f^\prime(x)<0$．故 $f(x)$ 在 $\left(-\infty,\dfrac{a}{3}\right)$ 单调递增，在 $(\dfrac{a}{3})$ 单调递减；
若 $a=0$，$f(x)$ 在 $(+\infty,-\infty)$ 单调递增；
若 $a<0$，则当 $x\in \left(-\infty,\dfrac{a}{3}\right)\bigcup (0,\infty)$ 时，$f^\prime(x)>0$；当 $x\in\left(\dfrac{a}{3},0\right)$ 时，$f^\prime(x)<0$．故 $f(x)$ 在 $\left(-\infty,\dfrac{a}{3}\right),(0,+\infty)$ 单调递增，在 $\left(\dfrac{a}{3},0\right)$ 单调递减．
（2）满足题设条件的 $a,b$ 存在．
（i）当 $a\leqslant 0$ 时，由（1）知，$f(x)$ 在 $[0,1]$ 单调递增，所以 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 的最小值为 $f(0)=b$，最大值为 $f(1)=2-a+b$．此时 $a,b$ 满足题设条件当且仅当 $b=-1,2-a+b=1$，即 $a=0,b=-1$．
（ii）当 $a≥3$ 时，由（1）知，$f(x)$ 在 $[0,1]$ 单调递减，所以 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 的最大值为 $f(0)=b$，最小值为 $f(1)=2-a+b$．此时 $a,b$ 满足题设条件当且仅当 $2-a+b=-1,b=1$，即 $a=4,b=1$．
（iii）当 $0<a<3$ 时，由（1）知，$f(x)$ 在 $[0,1]$ 的最小值为 $f\left(\dfrac{a}{3}\right)=-\dfrac{a^3}{27}+b$，最大值为 $b$ 或 $2-a+b$．
若 $-\dfrac{a^3}{27}+b=-1,b=1$，则 $a=3\sqrt[3]{2}$，与 $0<a<3$ 矛盾．
若 $-\dfrac{a^3}{27}+b=-1,2-a+b=1$，则 $a=3\sqrt{3}$ 或 $a=-3\sqrt{3}$ 或 $a=0$，与 $0<a<3$ 矛盾．
综上，当且仅当 $a=0,b=-1$ 或 $a=4,b=1$ 时，$f(x)$ 在 $[0,1]$ 的最小值为 $–1$，最大值为 $1$．
答案
解析
备注
