已知函数 $f(x)=2x^3-ax^2+2$．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）当 $0<a<3$ 时，记 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 的最大值为 $M$，最小值为 $m$，求 $M-m$ 的取值范围．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）当 $0<a<3$ 时，记 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 的最大值为 $M$，最小值为 $m$，求 $M-m$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
2019年高考全国III卷（文）
【标注】
【答案】
略
【解析】
（1）$f^\prime(x)=6x^2 -2ax=2x(3x-a)$．
令 $ f^\prime(x)=0 $，得 $ x=0 $ 或 $ x=\dfrac{a}{3}$．
若 $a>0$，则当 $x\in (-\infty,0)\bigcup \left(\dfrac{a}{3},+\infty\right)$ 时，$f^\prime(x)>0$；当 $x\in\left(0,\dfrac{a}{3}\right)$ 时，$f^\prime(x)<0$．故 $f(x)$ 在 $\left(-\infty,\dfrac{a}{3}\right)$ 单调递增，在 $(\dfrac{a}{3})$ 单调递减；
若 $a=0$，$f(x)$ 在 $(+\infty,-\infty)$ 单调递增；
若 $a<0$，则当 $x\in \left(-\infty,\dfrac{a}{3}\right)\bigcup (0,\infty)$ 时，$f^\prime(x)>0$；当 $x\in\left(\dfrac{a}{3},0\right)$ 时，$f^\prime(x)<0$．故 $f(x)$ 在 $\left(-\infty,\dfrac{a}{3}\right),(0,+\infty)$ 单调递增，在 $\left(\dfrac{a}{3},0\right)$ 单调递减．
（2）当 $0<a<3$ 时，由（1）知，$f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{a}{3}\right)$ 单调递减，在 $\left(\dfrac{a}{3},1\right)$ 单调递增，所以 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 的最小值为 $f\left(\dfrac{a}{3}\right)=-\dfrac{a^3}{27}+2$，最大值为 $f(0)=2$ 或 $f(1)=4-a$．于是 $m
=-\dfrac{a^3}{27}+2,M=\begin{cases}4-a,&&0<a<2\\2,&&2\leqslant a<3\end{cases}$
所以 $M-m
=\begin{cases}2-a+\dfrac{a^3}{27},&&0<a<2\\\dfrac{a^3}{27},&&2\leqslant a<3\end{cases}$
当 $0<a<2$ 时，可知 $2-a+\dfrac{a^3}{27}$ 单调递减，所以 $M-m$ 的取值范围是 $\left(\dfrac{8}{27},2\right)$．
当 $2\leqslant a<3$ 时，$\dfrac{a^3}{27}$ 单调递增，所以 $M-m$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{8}{27},1\right)$．
综上，$M-m$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{8}{27},2\right)$．
令 $ f^\prime(x)=0 $，得 $ x=0 $ 或 $ x=\dfrac{a}{3}$．
若 $a>0$，则当 $x\in (-\infty,0)\bigcup \left(\dfrac{a}{3},+\infty\right)$ 时，$f^\prime(x)>0$；当 $x\in\left(0,\dfrac{a}{3}\right)$ 时，$f^\prime(x)<0$．故 $f(x)$ 在 $\left(-\infty,\dfrac{a}{3}\right)$ 单调递增，在 $(\dfrac{a}{3})$ 单调递减；
若 $a=0$，$f(x)$ 在 $(+\infty,-\infty)$ 单调递增；
若 $a<0$，则当 $x\in \left(-\infty,\dfrac{a}{3}\right)\bigcup (0,\infty)$ 时，$f^\prime(x)>0$；当 $x\in\left(\dfrac{a}{3},0\right)$ 时，$f^\prime(x)<0$．故 $f(x)$ 在 $\left(-\infty,\dfrac{a}{3}\right),(0,+\infty)$ 单调递增，在 $\left(\dfrac{a}{3},0\right)$ 单调递减．
（2）当 $0<a<3$ 时，由（1）知，$f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{a}{3}\right)$ 单调递减，在 $\left(\dfrac{a}{3},1\right)$ 单调递增，所以 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 的最小值为 $f\left(\dfrac{a}{3}\right)=-\dfrac{a^3}{27}+2$，最大值为 $f(0)=2$ 或 $f(1)=4-a$．于是 $m
=-\dfrac{a^3}{27}+2,M=\begin{cases}4-a,&&0<a<2\\2,&&2\leqslant a<3\end{cases}$
所以 $M-m
=\begin{cases}2-a+\dfrac{a^3}{27},&&0<a<2\\\dfrac{a^3}{27},&&2\leqslant a<3\end{cases}$
当 $0<a<2$ 时，可知 $2-a+\dfrac{a^3}{27}$ 单调递减，所以 $M-m$ 的取值范围是 $\left(\dfrac{8}{27},2\right)$．
当 $2\leqslant a<3$ 时，$\dfrac{a^3}{27}$ 单调递增，所以 $M-m$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{8}{27},1\right)$．
综上，$M-m$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{8}{27},2\right)$．
答案
解析
备注
