已知函数 $f(x)=2\sin x-x\cos x-x$，$f^\prime(x)$ 为 $f(x)$ 的导数．
（1）证明：$f^\prime(x)$ 在区间 $(0,\pi)$ 存在唯一零点；
（2）若 $x\in[0,\pi]$ 时，$f(x)\geqslant ax$，求 $a$ 的取值范围．
（1）证明：$f^\prime(x)$ 在区间 $(0,\pi)$ 存在唯一零点；
（2）若 $x\in[0,\pi]$ 时，$f(x)\geqslant ax$，求 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
2019年高考全国I卷（文）
【标注】
【答案】
略
【解析】
（1）设 $g(x)=f^\prime(x)$，则 $g(x)=\cos x+x\sin x-1,g^\prime(x)=x\cos x$．
当 $x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ 时，$g^\prime(x)>0$；当 $x\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)$ 时，$g^\prime(x)<0$，所以 $g(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ 单调递增，在 $\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)$ 单调递减．
又 $g(0)=0,g\left(\dfrac{\pi}{2}\right)>0,g(x)=-2$，故 $g(x)$ 在 $(0,\pi)$ 存在唯一零点．
所以 $f^\prime(x)$ 在 $(0,\pi)$ 存在唯一零点．
（2）由题设知 $f(\pi)\geqslant a\pi,f(\pi)=0$，可得 $a\leqslant 0$．
由（1）知，$f^\prime(x)$ 在 $(0,\pi)$ 只有一个零点，设为 $x_0$，且当 $x\in(0,x_0)$ 时，$f^\prime (x)>0$；当 $x\in(x_0,\pi)$ 时，$f^\prime (x)<0$，所以 $f(x)$ 在 $(0,x_0)$ 单调递增，在 $(x_0,\pi)$ 单调递减．
又 $f(0)=0,f(\pi)=0$，所以，当 $x\in[0,\pi]$ 时，$f(x)\geqslant 0$．
又当 $a\leqslant 0,x\in[0,\pi]$ 时，$ax\leqslant 0$，故 $f(x)\geqslant ax$．
因此，$a$ 的取值范围是 $(-\infty,0]$．
当 $x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ 时，$g^\prime(x)>0$；当 $x\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)$ 时，$g^\prime(x)<0$，所以 $g(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ 单调递增，在 $\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)$ 单调递减．
又 $g(0)=0,g\left(\dfrac{\pi}{2}\right)>0,g(x)=-2$，故 $g(x)$ 在 $(0,\pi)$ 存在唯一零点．
所以 $f^\prime(x)$ 在 $(0,\pi)$ 存在唯一零点．
（2）由题设知 $f(\pi)\geqslant a\pi,f(\pi)=0$，可得 $a\leqslant 0$．
由（1）知，$f^\prime(x)$ 在 $(0,\pi)$ 只有一个零点，设为 $x_0$，且当 $x\in(0,x_0)$ 时，$f^\prime (x)>0$；当 $x\in(x_0,\pi)$ 时，$f^\prime (x)<0$，所以 $f(x)$ 在 $(0,x_0)$ 单调递增，在 $(x_0,\pi)$ 单调递减．
又 $f(0)=0,f(\pi)=0$，所以，当 $x\in[0,\pi]$ 时，$f(x)\geqslant 0$．
又当 $a\leqslant 0,x\in[0,\pi]$ 时，$ax\leqslant 0$，故 $f(x)\geqslant ax$．
因此，$a$ 的取值范围是 $(-\infty,0]$．
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