题目 已知函数 $f(x)=x^2+2\cos x$，$g(x)={\rm e}^x(\cos x-\sin x+2x-2)$，其中 ${\rm e}=2.71828\cdots$ 是自然对数的底数． 问题1 求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(\pi ,f(\pi))$ 处的切线方程； 答案1 $y=2\pi x-\pi^2-2$ 解析1 函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=2x-2\sin x,\]于是 $f(\pi)=\pi^2-2$，$f'(\pi)=2\pi$，所求的切线方程为\[y=2\pi(x-\pi)+\pi^2-2,\]也即 $y=2\pi x-\pi^2-2$． 备注1 问题2 令 $h(x)=g(x)-af(x)$（$a\in\mathbb R$），讨论 $h(x)$ 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 答案2 $a\leqslant 0$．此时函数 $h(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递减，在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，在 $x=0$ 处取得极小值 $-1-2a$．<br/>$0<a<1$．此时函数 $h(x)$ 在 $(-\infty,\ln a)$ 上单调递增，在 $(\ln a,0)$ 上单调递减，在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，在 $x=\ln a$ 处取得极大值$$2a\ln a-2a-a\ln^2a-a\sin\ln a-a\cos\ln a,$$在 $x=0$ 处取得极小值 $-1-2a$．<br/>$a=1$．此时函数 $h(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增，没有极值．<br/>$a>1$．此时函数 $h(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递增，在 $(0,\ln a)$ 上单调递减，在 $(\ln a,+\infty)$ 上单调递增，在 $x=0$ 处取得极大值 $-1-2a$，在 $x=\ln a$ 处取得极小值$$2a\ln a-2a-a\ln^2a-a\sin\ln a-a\cos\ln a.$$ 解析2 根据题意，有\[h(x)={\rm e}^x(\cos x-\sin x+2x-2)-ax^2-2a\cos x,\]其导函数\[h'(x)=2\left({\rm e}^x-a\right)\left(x-\sin x\right).\]由于\[\left(x-\sin x\right)'=1-\cos x,\]于是该函数单调递增，有唯一零点 $x=0$．这样就得到了讨论分界点 $a=0,1$．<br/>情形一：$a\leqslant 0$．此时函数 $h(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递减，在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，在 $x=0$ 处取得极小值$-1-2a$．<br/>情形二：$0<a<1$．此时函数 $h(x)$ 在 $(-\infty,\ln a)$ 上单调递增，在 $(\ln a,0)$ 上单调递减，在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，在 $x=\ln a$ 处取得极大值$$2a\ln a-2a-a\ln^2a-a\sin\ln a-a\cos\ln a,$$在 $x=0$ 处取得极小值 $-1-2a$．<br/>情形三：$a=1$．此时函数 $h(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增，没有极值．<br/>情形四：$a>1$．此时函数 $h(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递增，在 $(0,\ln a)$ 上单调递减，在 $(\ln a,+\infty)$ 上单调递增，在 $x=0$ 处取得极大值$-1-2a$，在 $x=\ln a$ 处取得极小值$$2a\ln a-2a-a\ln^2a-a\sin\ln a-a\cos\ln a.$$ 备注2