已知函数 $f(x)=\sin x-\ln (1+x)$，$f^\prime(x)$ 为 $f(x)$ 的导数．证明：
（1）$f^\prime(x)$ 在区间 $\left(-1,\dfrac{\pi}{2}\right)$ 存在唯一极大值点；
（2）$f(x)$ 有且仅有 $2$ 个零点．
（1）$f^\prime(x)$ 在区间 $\left(-1,\dfrac{\pi}{2}\right)$ 存在唯一极大值点；
（2）$f(x)$ 有且仅有 $2$ 个零点．
【难度】
【出处】
2019年高考全国I卷（理）
【标注】
【答案】
略
【解析】
（1）设 $g(x)=f^\prime(x)$，则 $g(x)=\cos x-\dfrac{1}{1+x}$，$g^\prime(x)=-\sin x+\dfrac{1}{(1+x)^2}$．
当 $x\in\left(-1,\dfrac{\pi}{2}\right)$ 时，$g^\prime(x)$ 单调递减，而 $g^\prime(0)>0,g^\prime\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$，可得 $g^\prime(x)$ 在 $\left(-1,\dfrac{\pi}{2}\right)$ 有唯一零点，设为 $\alpha$．
则当 $x\in(-1,\alpha)$ 时，$g^\prime(x)>0$；当 $x\in\left(\alpha,\dfrac{\pi}{2}\right)$ 时，$g^\prime(x)<0$．
所以 $g(x)$ 在 $(-1,\alpha)$ 单调递增，在 $\left(\alpha,\dfrac{\pi}{2}\right)$ 单调递减，故 $g(x)$ 在 $\left(-1,\dfrac{\pi}{2}\right)$ 存在唯一极大值点，即 $f^\prime(x)$ 在 $\left(-1,\dfrac{\pi}{2}\right)$ 存在唯一极大值点．
（2）$f(x)$ 的定义域为 $(-1,+\infty)$．
（i）当 $x\in(-1,0]$ 时，由（1）知，$f^\prime(x)$ 在 $(-1,0)$ 单调递增，而 $f^\prime(0)=0$，所以当 $x\in(-1,0)$ 时，$f^\prime(x)<0$，故 $f(x)$ 在 $(-1,0)$ 单调递减，又 $f(0)=0$，从而 $x=0$ 是 $f(x)$ 在 $(-1,0]$ 的唯一零点．
（ii）当 $x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ 时，由（1）知，$f^\prime(x)$ 在 $(0,\alpha)$ 单调递增，在 $\left(\alpha,\dfrac{\pi}{2}\right)$ 单调递减，而 $f^\prime(0)=0$，$f^\prime\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$，所以存在 $\beta\in\left(\alpha,\dfrac{\pi}{2}\right)$，使得 $f^\prime(\beta)=0$，且当 $x\in(0,\beta)$ 时，$f^\prime(x)>0$；当 $x\in\left(\beta,\dfrac{\pi}{2}\right)$ 时，$f^\prime(x)<0$．故 $f(x)$ 在 $(0,\beta)$ 单调递增，在 $\left(\beta,\dfrac{\pi}{2}\right)$ 单调递减．
又 $f(0)=0$，$f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1-\ln\left (1+\dfrac{\pi}{2}\right)$，所以当 $x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ 时，$f(x)>0$．从而，$f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ 没有零点．
（iii）当 $x\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right]$ 时，$f^\prime(x)<0$，所以 $f(x)$ 在 $\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)$ 单调递减．而 $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)>0$，$f(\pi)<0$，所以 $f(x)$ 在 $\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right]$ 有唯一零点．
（iv）当 $x\in(\pi,+\infty)$ 时，$\ln (x+1)>1$，所以 $f(x)<0$，从而 $f(x)$ 在 $(\pi,+\infty)$ 没有零点．
综上，$f(x)$ 有且仅有 $2$ 个零点．
当 $x\in\left(-1,\dfrac{\pi}{2}\right)$ 时，$g^\prime(x)$ 单调递减，而 $g^\prime(0)>0,g^\prime\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$，可得 $g^\prime(x)$ 在 $\left(-1,\dfrac{\pi}{2}\right)$ 有唯一零点，设为 $\alpha$．
则当 $x\in(-1,\alpha)$ 时，$g^\prime(x)>0$；当 $x\in\left(\alpha,\dfrac{\pi}{2}\right)$ 时，$g^\prime(x)<0$．
所以 $g(x)$ 在 $(-1,\alpha)$ 单调递增，在 $\left(\alpha,\dfrac{\pi}{2}\right)$ 单调递减，故 $g(x)$ 在 $\left(-1,\dfrac{\pi}{2}\right)$ 存在唯一极大值点，即 $f^\prime(x)$ 在 $\left(-1,\dfrac{\pi}{2}\right)$ 存在唯一极大值点．
（2）$f(x)$ 的定义域为 $(-1,+\infty)$．
（i）当 $x\in(-1,0]$ 时，由（1）知，$f^\prime(x)$ 在 $(-1,0)$ 单调递增，而 $f^\prime(0)=0$，所以当 $x\in(-1,0)$ 时，$f^\prime(x)<0$，故 $f(x)$ 在 $(-1,0)$ 单调递减，又 $f(0)=0$，从而 $x=0$ 是 $f(x)$ 在 $(-1,0]$ 的唯一零点．
（ii）当 $x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ 时，由（1）知，$f^\prime(x)$ 在 $(0,\alpha)$ 单调递增，在 $\left(\alpha,\dfrac{\pi}{2}\right)$ 单调递减，而 $f^\prime(0)=0$，$f^\prime\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$，所以存在 $\beta\in\left(\alpha,\dfrac{\pi}{2}\right)$，使得 $f^\prime(\beta)=0$，且当 $x\in(0,\beta)$ 时，$f^\prime(x)>0$；当 $x\in\left(\beta,\dfrac{\pi}{2}\right)$ 时，$f^\prime(x)<0$．故 $f(x)$ 在 $(0,\beta)$ 单调递增，在 $\left(\beta,\dfrac{\pi}{2}\right)$ 单调递减．
又 $f(0)=0$，$f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1-\ln\left (1+\dfrac{\pi}{2}\right)$，所以当 $x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ 时，$f(x)>0$．从而，$f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ 没有零点．
（iii）当 $x\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right]$ 时，$f^\prime(x)<0$，所以 $f(x)$ 在 $\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)$ 单调递减．而 $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)>0$，$f(\pi)<0$，所以 $f(x)$ 在 $\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right]$ 有唯一零点．
（iv）当 $x\in(\pi,+\infty)$ 时，$\ln (x+1)>1$，所以 $f(x)<0$，从而 $f(x)$ 在 $(\pi,+\infty)$ 没有零点．
综上，$f(x)$ 有且仅有 $2$ 个零点．
答案
解析
备注
