已知函数 $f(x)=(x-1)\ln x-x-1$．证明：
（1）$f(x)$ 存在唯一的极值点；
（2）$f(x)=0$ 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
（1）$f(x)$ 存在唯一的极值点；
（2）$f(x)=0$ 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
【难度】
【出处】
2019年高考全国II卷（文）
【标注】
【答案】
略
【解析】
（1）$f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty)$．
$f^\prime(x)=\dfrac{x-1}{x}+\ln x-1=\ln x-\dfrac{1}{x}$．
因为 $y=\ln x$ 单调递增，$y=\dfrac{1}{x}$ 单调递减，所以 $f^\prime(x)$ 单调递增．又 $f^\prime(1)=-1<0,f^\prime(2)=\ln 2-\dfrac{1}{2}=\dfrac{\ln 4-1}{2}>0$，故存在唯一 $x_0\in (1,2)$，使得 $f^\prime (x_0)=0$．
又当 $x<x_0$ 时，$f^\prime(x)<0$，$f(x)$ 单调递减；当 $x>x_0$ 时，$f^\prime(x)>0$，$f(x)$ 单调递增．
因此，$f(x)$ 存在唯一的极值点．
（2）由（1）知 $f(x_0)<f(1)=-2$，又 $f(e^2)=e^2-3>0$，所以 $f(x)=0$ 在 $(x_0,+\infty)$ 内存在唯一根 $x=\alpha$．
由 $\alpha>x_0>1$ 得 $\dfrac{1}{\alpha}<1<x_0$．
又 $f\left(\dfrac{1}{\alpha}\right)=\left(\dfrac{1}{\alpha}-1\right)\ln \dfrac{1}{\alpha}-\dfrac{1}{\alpha}-1=\dfrac{f(\alpha)}{\alpha}=0$，故 $\dfrac{1}{\alpha}$ 是 $f(x)=0$ 在 $(0,x_0)$ 的唯一根．
综上，$f(x)=0$ 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
$f^\prime(x)=\dfrac{x-1}{x}+\ln x-1=\ln x-\dfrac{1}{x}$．
因为 $y=\ln x$ 单调递增，$y=\dfrac{1}{x}$ 单调递减，所以 $f^\prime(x)$ 单调递增．又 $f^\prime(1)=-1<0,f^\prime(2)=\ln 2-\dfrac{1}{2}=\dfrac{\ln 4-1}{2}>0$，故存在唯一 $x_0\in (1,2)$，使得 $f^\prime (x_0)=0$．
又当 $x<x_0$ 时，$f^\prime(x)<0$，$f(x)$ 单调递减；当 $x>x_0$ 时，$f^\prime(x)>0$，$f(x)$ 单调递增．
因此，$f(x)$ 存在唯一的极值点．
（2）由（1）知 $f(x_0)<f(1)=-2$，又 $f(e^2)=e^2-3>0$，所以 $f(x)=0$ 在 $(x_0,+\infty)$ 内存在唯一根 $x=\alpha$．
由 $\alpha>x_0>1$ 得 $\dfrac{1}{\alpha}<1<x_0$．
又 $f\left(\dfrac{1}{\alpha}\right)=\left(\dfrac{1}{\alpha}-1\right)\ln \dfrac{1}{\alpha}-\dfrac{1}{\alpha}-1=\dfrac{f(\alpha)}{\alpha}=0$，故 $\dfrac{1}{\alpha}$ 是 $f(x)=0$ 在 $(0,x_0)$ 的唯一根．
综上，$f(x)=0$ 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
答案
解析
备注
