已知函数 $f(x)=x-1-a\ln x$．
【难度】
【出处】
2017年高考全国丙卷（理）
【标注】
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若 $f(x)\geqslant 0$，求 $a$ 的值；标注答案$1$解析当 $a\leqslant 0$ 时，有$$f\left({\rm e}^{-1}\right)={\rm e}^{-1}-1+a<0,$$不符合题意；
当 $0<a<1$ 时，函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=\dfrac{x-a}{x},$$于是在区间 $(a,1)$ 上，函数 $f(x)$ 单调递增，而 $f(1)=0$，因此在该区间上 $f(x)<0$，不符合题意；
当 $a=1$ 时，容易证明 $x-1-\ln x\geqslant 0$，符合题意；
当 $a>1$ 时，在区间 $(1,a)$ 上，函数 $f(x)$ 单调递减，而 $f(1)=0$，因此在该区间上 $f(x)<0$，不符合题意．
综上所述，$a$ 的值为 $1$． -
设 $m$ 为整数，且对于任意正整数 $n$，$\left(1+\dfrac 12\right)\left(1+\dfrac 1{2^2}\right)\cdots \left(1+\dfrac 1{2^n}\right)<m$，求 $m$ 的最小值．标注答案$3$解析一方面，当 $n=3$ 时，有$$LHS=\dfrac 32\cdot \dfrac 54\cdot \dfrac 98=\dfrac{135}{64},$$于是 $m\geqslant 3$．
另一方面，有\[\begin{split}\ln \left[\left(1+\dfrac 12\right)\left(1+\dfrac{1}{2^2}\right)\cdots\left(1+\dfrac{1}{2^n}\right)\right]&=\ln \left(1+\dfrac 12\right)+\ln\left(1+\dfrac 1{2^2}\right)+\cdots+\ln\left(1+\dfrac{1}{2^n}\right)\\
&<\dfrac 12+\dfrac{1}{2^2}+\cdots+\dfrac{1}{2^n}\\
&=1-\dfrac{1}{2^n}\\
&<1,
\end{split}\]因此有\[\left(1+\dfrac 12\right)\left(1+\dfrac{1}{2^2}\right)\cdots\left(1+\dfrac{1}{2^n}\right)<{\rm e},\]因此 $m$ 可以取到 $3$．
综上所述，$m$ 的最小值为 $3$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
