题目 已知函数 $f(x)=(2+x+ax^2)\ln(1+x)-2x$ 问题1 若 $a=0$，证明：当 $-1<x<0$ 时，$f(x)<0$；当 $x>0$ 时，$f(x)>0$； 答案1 略 解析1 $f^{\prime}(x)=\ln(1+x)+\dfrac{2+x}{1+x}-2=\ln(1+x)+\dfrac{1}{1+x}-1$<br/>$f^{{\prime}{\prime}}(x)=\dfrac{1}{1+x}-\dfrac{1}{(1+x)^2}=\dfrac{x}{(1+x)^2}$，<br/>$f^{\prime}(x)$ 在 $(-1,0)$ 递减，$(0,+\infty)$ 递增，$f^{\prime}(0)=0$，<br/>$f(x)$ 在 $(-1,+\infty)$ 单调递增，$f(0)=0$，命题得证． 备注1 问题2 若 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，求 $a$． 答案2 略 解析2 因为二次式 $2+x+ax^2$ 在 $0$ 处取 $2>0$，故相当于 $g(x)=\ln(1+x)-\dfrac{2x}{2+x+ax^2}$ 在 $0$ 处取得极值．<br/>故 $g^{\prime}(0)=0$，且 $g^{\prime}(x)$ 在 $0$ 左右两侧符号相反．<br/>$g^{\prime}(x)=\dfrac{1}{1+x}-\dfrac{4-2ax^2}{(1+x+ax^2)^2}=\dfrac{x^2(a^2x^2+4ax+6a+1)}{(x+1)(ax^2+x+2)}$，<br/>故 $a=-\dfrac{1}{6}$ 备注2