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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
18396 5c872c87210b284290fc2bd4 高中 解答题 自招竞赛 设 $n\geqslant 3$，考虑一 个圆周上 $2n-1$ 个不同的点所成的集合 $E$．如果将 $E$ 中的一些点染成黑色，使得至少有两个黑点，以它们为端点的两条弧之一的内部恰含 $E$ 的 $n$ 个点，那么称这种染色法是“好的”，若 $E$ 的 $k$ 个点染成黑点的每一种染色法都是好的，试求 $k$ 的最小值．（捷克斯洛伐克） 2022-04-17 19:00:41
18392 5c872c9b210b284290fc2bde 高中 解答题 自招竞赛 从给定的正整数 ${n}_{0}$ 开始，$A,B$ 二人按照如下规则做轮流取整数 $n_1,n_2,n_3,\cdots$ 的游戏：当 $n_{2k}$ 被取定后，$A$ 可取满足 ${{n}_{2k}}\leqslant {{n}_{2k+1}}\leqslant n_{2k}^{2}$ 的任意一个整数；当 $n_{2k+1}$ 被取定后，$B$ 可取 ${n}_{2k+2}$，这里 ${n}_{2k+2}$ 是使得 $\dfrac{{{n}_{2k+1}}}{{{n}_{2k+2}}}$ 恰为一个素数的正整数幂的任意一个整数．约定 $A$ 先取得 $1990$ 为胜，$B$ 取得 $1$ 为胜．试问：
（1）对怎样的 ${n}_{0}$，$A$ 有必胜策略？
（2）对怎样的 ${n}_{0}$，$B$ 有必胜策略？
（3）对怎样的 ${n}_{0}$，双方均无必胜策略？（德国）		 2022-04-17 19:58:40
18391 5c872ca4210b28428f14d64f 高中 解答题 自招竞赛 试证存在凸 $1990$ 边形，它具有如下的性质：
（1）多边形的各内角相等；
（2）多边形的各边的长度是 ${1}^{2},{2}^{2},\cdots,1989^2,{1990}^{2}$ 的一个排列．（荷兰）		 2022-04-17 19:58:40
18386 5c873f1a210b284290fc2bec 高中 解答题 自招竞赛 试将集合 $\{1,2,\cdots,1989\}$ 分为 $117$ 个互不相交的子集 ${A}_{i}(i=1,2,\cdots,117)$，使得：
（1）每个 ${A}_{i}$ 都含有 $17$ 个元素；
（2）所有 ${A}_{i}$ 中各元素之和都相同．（菲律宾）		 2022-04-17 19:55:40
18384 5c873f26210b28428f14d65e 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 和 $k$ 是正整数，$S$ 是平面上 $n$ 个点的集合．满足
（1）$S$ 任何三点都不共线；
（2）对 $S$ 中每一点 $P,S$ 中至少存在 $k$ 个点与 $P$ 距离相等．
求证：$k<\dfrac{1}{2}+\sqrt{2n}$．（荷兰）		 2022-04-17 19:54:40
18380 5c873f34210b284290fc2bfc 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 是正整数，我们称集合 ${1,2,\cdots,2n}$ 的一个排列 $({x}_{1},{x}_{2},\cdots,{x}_{2n})$ 具有性质 $P$，是指在 ${1,2,\cdots,2n-1}$ 中至少有一个 $i$，使得 $\left| {{x}_{i}}-{{x}_{i+1}} \right|=n$．求证：对于任何 $n$，具有性质 $P$ 的排列比不具有性质 $P$ 的排列的个数多．（波兰） 2022-04-17 19:52:40
18348 5c874370210b284290fc2c0b 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 为一个正整数，而 ${A}_{1},{A}_{2},\cdots,{A}_{2n+1}$ 是集合 $B$ 的一族子集，满足条件：
（1）每个 ${A}_{i}$ 中恰有 $2n$ 个元素；
（2）${A}_{i}∩{A}_{j}(1\leqslant i＜j\leqslant 2n+1)$ 恰含有一个元素；
（3）$B$ 中每一个元素至少属于两个子集 ${A}_{i_1}$ 和 $A_{i_2}$，$1\leqslant i_1<i_2\leqslant 2n+1$．
试问对怎样的 正整数 $n$，可以对 $B$ 中的每一个元素贴一张写有 $0$ 或 $1$ 的标签，使得每个 $A_i$ 中恰好有 $n$ 个贴上了写有 $0$ 的标签的元素？说明理由．（捷克斯洛伐克）		 2022-04-17 19:34:40
18344 5c8745b8210b28428f14d691 高中 解答题 自招竞赛 设 ${P}_{n}(k)$ 是集 $\{1,\cdots,n\}$ 的保持 $k$ 个不动点的排列数目．求证：$\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n}{k\cdot {{p}_{n}}(k)=n!}$．（联邦德国） 2022-04-17 19:32:40
18343 5c8745d2210b28428f14d6a3 高中 解答题 自招竞赛 对任意正整数 $n\geqslant 3$，在欧式平面上存都在 $n$ 个点，使得其中任何两点间的距离是无理数而每三点构成的三角非退化，且面积为有理数．（民主德国） 2022-04-17 19:32:40
18336 5c874b8b210b284290fc2c2a 高中 解答题 自招竞赛 正五边形的每个顶点对应一个整数，使得这五个整数的和为正．若其中三个相邻顶点所对应的整数依次为 $x、y、z$ 且中间的 $y<0$，则要进行如下操作：整数 $x、y、z$ 分别换为 $x+y、-y、z+y$．只要所得的五个整数中至少还有一个为负时，这种操作就继续进行．问这种操作是否进行有限次后必定终止？说明理由．（民主德国） 2022-04-17 19:28:40
18333 5c874ba0210b284290fc2c30 高中 解答题 自招竞赛 平面上有限个点构成一个集合，其中每个点的坐标都是整数．能否把此集合中的某些点染成红色而其余的点染成白色，使得与纵，横坐标轴平行的任一条直线上所含的红点的个数与白点的个数至多相差一个？证明你的结论．（民主德国） 2022-04-17 19:26:40
18331 5c874d97210b28428f14d6cc 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 与 $k$ 是互素的两个正整数，且 $k<n$，将集合 $M=\{1,2,...,n-1\}$ 中每个数染上蓝，白两色之一，染色法如下：
（1）对 $M$ 中每个 $i$，使 $i$ 和 $n-i$ 同色；
（2）对 $M$ 中每个 $i,i ≠k$，使 $i$ 与 $|k-i|$ 同色．
求证：$M$ 中所有数必为同色．（澳大利亚）		 2022-04-17 19:25:40
18329 5c874da2210b28428f14d6d7 高中 解答题 自招竞赛 设 $M$ 是由 $1985$ 个不同的正整数组成的集合，其中每个元素的素因子都不大于 $26$．求证：从 $M$ 中 至少可以找到一个由 $4$ 个不同元素组成的子集，使得这 $4$ 个数的乘积等于某个正整数的 $4$ 次方．（蒙古） 2022-04-17 19:23:40
18320 5c875192210b284290fc2c5d 高中 解答题 自招竞赛 平面上已给出两个定点 $O$ 和 $A$，对此平面上的异于 $O$ 的任一点 $X$，将从从 $OA$ 依逆时针方向转到 $OX$ 时所转过的角度记为 $\alpha(X)(0\leqslant \alpha(X)<2π)$．设 $C(X)$ 为以 $O$ 为圆心，$OX+\dfrac{\alpha(X)}{OX}$ 为半径的圆．已知此平面上每点都被涂上有限多种颜色中的一种，求证：一定存在一点 $Y$，$\alpha(Y)>0$，且点 $Y$ 的颜色在圆周 $C(Y)$ 上出现．（罗马尼亚） 2022-04-17 19:19:40
18318 5c8751a0210b284290fc2c63 高中 解答题 自招竞赛 设平面凸 $n$ 边形的所有对角线长度之和为 $d$，周长为 $p$．求证：$n-3<\dfrac{2d}{p}<\left[ \dfrac{n}{2} \right]\left[ \dfrac{n+1}{2} \right]-2$，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数．（蒙古） 2022-04-17 19:19:40
18313 5c8756a3210b28428f14d6fc 高中 解答题 自招竞赛 设 $\triangle ABC$ 是等边三角形，$S$ 是其三边 $AB、BC、CA$ 上所有点（包括 $A、B、C$）的集合，若把集合 $S$ 任意分成两个不交的子集，其中是否至少有一个子集中含有某直角三角形的三个顶点？证明你的结论．（比利时） 2022-04-17 19:17:40
18245 5c875a80210b284290fc2c96 高中 解答题 自招竞赛 设 $S$ 是边长为 $100$ 的正方形，$L$ 是在 $S$ 内自身不相交的折线段 ${A}_{0}{A}_{1}{A}_{2}\cdots{A}_{n-1}{A}_{n}(A_0\ne A_n)$．对于 $S$ 的边界上的任一点 $P$，总存在 $L$ 上的一点，它与 $P$ 点的距离不大于 $\dfrac{1}{2}$．求证：在 $L$ 上必存在两点 $X、Y$，使得它们之间的距离不大于 $1$，但两点沿折线 $L$ 的距离不小于 $198$．（越南） 2022-04-17 19:40:39
18242 5c876405210b28428f14d722 高中 解答题 自招竞赛 设 $1\leqslant r\leqslant n$，考虑集合 $\{1,2,\cdots,n\}$ 的所有含 $r$ 个元素的子集及每个这样子集中最小的元素，用 $F(n,r)$ 表示所有这样的最小数的算术平均值．求证：$F(n,r)=\dfrac{n+1}{r+1}$．（联邦德国） 2022-04-17 19:39:39
18237 5c876781210b284290fc2cb3 高中 解答题 自招竞赛 一个棱柱以五边形 ${A}_{1}{A}_{2}{A}_{3}{A}_{4}{A}_{5}$ 与 ${B}_{1}{B}_{2}{B}_{3}{B}_{4}{B}_{5}$ 为上下，底，这两个五边形的每一条边及每条线段 ${A}_{i}{B}_{j}(i,j=1,2,3,4,5)$ 均涂上红色或蓝色，以棱柱顶点为顶点，以已涂色的线段为边的任何三角形均有两边不同色．求证：上，下两底的 $10$ 条边颜色一定相同．（保加利亚） 2022-04-17 19:36:39
18226 5c876c34210b284290fc2cdc 高中 解答题 自招竞赛 一个国际社团的成员来自六个国家，共有成员 $1978$ 人，用 $1,2,\cdots,1977,1978$ 编号．求证：该社团至少有一个成员的编号数，与它的两个同胞的编号数之和相等，或是一个同胞的编号数的两倍．（荷兰） 2022-04-17 19:29:39
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