试将集合 $\{1,2,\cdots,1989\}$ 分为 $117$ 个互不相交的子集 ${A}_{i}(i=1,2,\cdots,117)$，使得：
（1）每个 ${A}_{i}$ 都含有 $17$ 个元素；
（2）所有 ${A}_{i}$ 中各元素之和都相同．（菲律宾）
（1）每个 ${A}_{i}$ 都含有 $17$ 个元素；
（2）所有 ${A}_{i}$ 中各元素之和都相同．（菲律宾）
【难度】
【出处】
1989年第30届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
$1989=17\times 117$．把 $\{1,2,\cdots,1989\}$ 顺次分成 $17$ 个子集：$\{1,2,\cdots,117\},\{117+1,117+2,\cdots,117+117\},\{2\times 117+1,2\times 117+2,\cdots,2\times 117+117\},\cdots,\{16\times 117+1,16\times 117+2,\cdots,16\times 117+117\}$．从第 $4$ 个开始到第 $17$ 个子集按如下方式放入集合 $A_1,A_2,\cdots,A_{117}$ 中：将第 $2k(2\leqslant k\leqslant 8)$ 子集中的数按从大到小的顺序依次放入 $A_1,A_2,\cdots,A_{117}$ 中，将第 $2k+1(2\leqslant k\leqslant 8)$ 个子集中的数按从小到大的顺序依次放入 $A_1,A_2,\cdots,A_{117}$ 中．上述的放置方法使得已放进 $A_i$ 中的 $14$ 个数之和相等．
下面将 $1,2,\cdots,351$ 放入 $A_1,A_2,\cdots,A_{117}$．把 $1,2,\cdots,351$ 中 $3$ 的倍数 $117$ 个取出来从大到小排列：$351,348,\cdots,6,3$，把剩下的数从小到大排列，并分成两段：$1,2,4,\cdots,175;176,178,\cdots,350$，其中每段都是 $117$ 个数，然后按如下顺序排列：
$\begin{matrix}
351&348&345&\cdots&6&3\\
1&2&4&\cdots&173&175\\
176&178&179&\cdots&349&350
\end{matrix}$
把第 $1$ 列 $3$ 个数放入 $A_1$，第 $2$ 列 $3$ 个数放入 $A_2$，$\cdots$，第 $117$ 列的 $3$ 个数放入 $A_{117}$．若某一列的 $3$ 个数为 $3k,3a+1,3b+2$，则下一列的 $3$ 个数为 $3(k-1),3a+2,3b+4$，它们的和相等．从而 $A_1,A_2,\cdots,A_{117}$ 中的 $17$ 个数之和相等．
下面将 $1,2,\cdots,351$ 放入 $A_1,A_2,\cdots,A_{117}$．把 $1,2,\cdots,351$ 中 $3$ 的倍数 $117$ 个取出来从大到小排列：$351,348,\cdots,6,3$，把剩下的数从小到大排列，并分成两段：$1,2,4,\cdots,175;176,178,\cdots,350$，其中每段都是 $117$ 个数，然后按如下顺序排列：
$\begin{matrix}
351&348&345&\cdots&6&3\\
1&2&4&\cdots&173&175\\
176&178&179&\cdots&349&350
\end{matrix}$
把第 $1$ 列 $3$ 个数放入 $A_1$，第 $2$ 列 $3$ 个数放入 $A_2$，$\cdots$，第 $117$ 列的 $3$ 个数放入 $A_{117}$．若某一列的 $3$ 个数为 $3k,3a+1,3b+2$，则下一列的 $3$ 个数为 $3(k-1),3a+2,3b+4$，它们的和相等．从而 $A_1,A_2,\cdots,A_{117}$ 中的 $17$ 个数之和相等．
答案
解析
备注
