正五边形的每个顶点对应一个整数，使得这五个整数的和为正．若其中三个相邻顶点所对应的整数依次为 $x、y、z$ 且中间的 $y<0$，则要进行如下操作：整数 $x、y、z$ 分别换为 $x+y、-y、z+y$．只要所得的五个整数中至少还有一个为负时，这种操作就继续进行．问这种操作是否进行有限次后必定终止？说明理由．（民主德国）
【难度】
【出处】
1986年第27届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
证法一
答案是肯定的．
把五个整数写成一列：$x,y,z,u,v$，其中 $v$ 与 $x$ 相邻．不妨设 $y<0$，考虑五个整数以及相邻两数和的平方和，经过一次操作后，改变量为
$\begin{aligned}&(x+y)^2+(-y)^2+(z+y)^2+u^2+v^2+x^2+z^2+(z+y+u)^2\\&+(u+v)^2+(u+x+y)^2-[x^2+y^2+z^2+u^2+v^2+(x+y)^2\\&+(y+z)^2+(z+u)^2+(u+v)^2+(v+x)^2]\\&=2y(x+y+z+u+v)<0\end{aligned}$
也就是说，每操作一次，五个整数以及每相邻两数和的平方和这个量严格减少，所以，这种操作经过有限次后必定终止．
证法二
设五个整数依次为 $u_1,u_2,u_3,u_4,u_5$，
其中 $u_5$ 与 $u_1$ 相邻．令
$\displaystyle f(u_1,u_2,\cdots,u_5)=\sum\limits_{i=1}^5|u_i|+\sum_{i=1}^5|u_i+u_{i+1}|+\sum_{i=1}^5|u_i+u_{i+1}+u_{i+2}|+\sum_{i=1}^5|u_i+u_{i+1}+u_{i+2}+u_{i+3}|$
其中 $u_{5+i}=u_i,i=1,2,3$．
不妨设 $u_2<0$，经一次操作后 $5$ 个数为 $v_1,v_2,v_3,v_4,v_5$，则 $v_1=u_1+u_2,v_2=-u_2,v_3=u_3+u_2,v_4=u_4,v_5=u_5$，于是
$f(v_1,v_2,v_3,v_4,v_5)-f(u_1,u_2,u_3,u_4,u_5)=|u_1+u_3+u_4+u_5+2u_2|-|u_1+u_3+u_4+u_5|$
因为 $u_1+u_2+u_3+u_4+u_5>0$，且 $u_2<0$，所以
$-(u_1+u_3+u_4+u_5)<u_1+u_3+u_4+u_5+2u_2<u_1+u_3+u_4+u_5$
故 $|u_1+u_3+u_4+u_5+2u_2|<u_1+u_3+u_4+u_5$
$f(v_1,v_2,v_3,v_4,v_5)<f(u_1,u_2,u_3,u_4,u_5)$
即每经一次操作，$f$ 的严格递减，所以这种操作经过有限次后必定终止．
答案是肯定的．
把五个整数写成一列：$x,y,z,u,v$，其中 $v$ 与 $x$ 相邻．不妨设 $y<0$，考虑五个整数以及相邻两数和的平方和，经过一次操作后，改变量为
$\begin{aligned}&(x+y)^2+(-y)^2+(z+y)^2+u^2+v^2+x^2+z^2+(z+y+u)^2\\&+(u+v)^2+(u+x+y)^2-[x^2+y^2+z^2+u^2+v^2+(x+y)^2\\&+(y+z)^2+(z+u)^2+(u+v)^2+(v+x)^2]\\&=2y(x+y+z+u+v)<0\end{aligned}$
也就是说，每操作一次，五个整数以及每相邻两数和的平方和这个量严格减少，所以，这种操作经过有限次后必定终止．
证法二
设五个整数依次为 $u_1,u_2,u_3,u_4,u_5$，
其中 $u_5$ 与 $u_1$ 相邻．令
$\displaystyle f(u_1,u_2,\cdots,u_5)=\sum\limits_{i=1}^5|u_i|+\sum_{i=1}^5|u_i+u_{i+1}|+\sum_{i=1}^5|u_i+u_{i+1}+u_{i+2}|+\sum_{i=1}^5|u_i+u_{i+1}+u_{i+2}+u_{i+3}|$
其中 $u_{5+i}=u_i,i=1,2,3$．
不妨设 $u_2<0$，经一次操作后 $5$ 个数为 $v_1,v_2,v_3,v_4,v_5$，则 $v_1=u_1+u_2,v_2=-u_2,v_3=u_3+u_2,v_4=u_4,v_5=u_5$，于是
$f(v_1,v_2,v_3,v_4,v_5)-f(u_1,u_2,u_3,u_4,u_5)=|u_1+u_3+u_4+u_5+2u_2|-|u_1+u_3+u_4+u_5|$
因为 $u_1+u_2+u_3+u_4+u_5>0$，且 $u_2<0$，所以
$-(u_1+u_3+u_4+u_5)<u_1+u_3+u_4+u_5+2u_2<u_1+u_3+u_4+u_5$
故 $|u_1+u_3+u_4+u_5+2u_2|<u_1+u_3+u_4+u_5$
$f(v_1,v_2,v_3,v_4,v_5)<f(u_1,u_2,u_3,u_4,u_5)$
即每经一次操作，$f$ 的严格递减，所以这种操作经过有限次后必定终止．
答案
解析
备注
