一个国际社团的成员来自六个国家，共有成员 $1978$ 人，用 $1,2,\cdots,1977,1978$ 编号．求证：该社团至少有一个成员的编号数，与它的两个同胞的编号数之和相等，或是一个同胞的编号数的两倍．（荷兰）
【难度】
【出处】
1978年第20届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
由题设，$1978$ 名成员来自六个国家，由抽屉原则知，必有一个国家至少有 $\left[\dfrac{1978}{6}\right]+1=330$ 名成员．不妨设 $A$ 国有 $330$ 名成员，它们的编号分别为 $a_1<a_2<\cdots<a_{330}$，记 $A^\prime=\{a_1,a_2,\cdots,a_{330}\}$．考虑如下 $329$ 个数：
$a_{330}-a_1,a_{330}-a_2,\cdots,a_{330}-a_{329}$ ①
若其中有一个数属于 $A^\prime$，不妨设 $a_{330}-a_i=a_j$
则 $a_{330}=a_i+a_j$
当 $i\ne j$ 时，有一成员的编号数等于他的两个同胞的编号数之和，当 $i=j$ 时有一成员的编号数等于他的同胞的编号数的两倍．
若 ① 中的数均不在 $A^\prime$ 中，由抽屉原则知，这 $329$ 名成员中至少有 $\left[\dfrac{329}{5}\right]+1=66$ 个属于同一国，不妨设为 $B$ 国，这 $66$ 个数记为 $b_1<b_2<\cdots<b_{66}$，令 $B^\prime=\{b_1,b_2,\cdots,b_{66}\}$．考虑如下 $65$ 个数：$b_{66}-b_1,b_{66}-b_2,\cdots,b_{66}-b_{65}$．②
若 ② 中的数均不在 $B^\prime$ 中，也不在 $A^\prime$ 中，由抽屉原则知，这 $65$ 名成员中至少有 $\left[\dfrac{65}{4}\right]+1=17$ 个属于同一国，不妨设为 $C$ 国．如此下去，最后会找到一个国家 $F$，其中有两名成员的编号差一定在他们国家 $F$ 内，从而命题得证．
$a_{330}-a_1,a_{330}-a_2,\cdots,a_{330}-a_{329}$ ①
若其中有一个数属于 $A^\prime$，不妨设 $a_{330}-a_i=a_j$
则 $a_{330}=a_i+a_j$
当 $i\ne j$ 时，有一成员的编号数等于他的两个同胞的编号数之和，当 $i=j$ 时有一成员的编号数等于他的同胞的编号数的两倍．
若 ① 中的数均不在 $A^\prime$ 中，由抽屉原则知，这 $329$ 名成员中至少有 $\left[\dfrac{329}{5}\right]+1=66$ 个属于同一国，不妨设为 $B$ 国，这 $66$ 个数记为 $b_1<b_2<\cdots<b_{66}$，令 $B^\prime=\{b_1,b_2,\cdots,b_{66}\}$．考虑如下 $65$ 个数：$b_{66}-b_1,b_{66}-b_2,\cdots,b_{66}-b_{65}$．②
若 ② 中的数均不在 $B^\prime$ 中，也不在 $A^\prime$ 中，由抽屉原则知，这 $65$ 名成员中至少有 $\left[\dfrac{65}{4}\right]+1=17$ 个属于同一国，不妨设为 $C$ 国．如此下去，最后会找到一个国家 $F$，其中有两名成员的编号差一定在他们国家 $F$ 内，从而命题得证．
答案
解析
备注
