设 $M$ 是由 $1985$ 个不同的正整数组成的集合，其中每个元素的素因子都不大于 $26$．求证：从 $M$ 中 至少可以找到一个由 $4$ 个不同元素组成的子集，使得这 $4$ 个数的乘积等于某个正整数的 $4$ 次方．（蒙古）
【难度】
【出处】
1985年第26届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
小于的 $26$ 的素数为 $2,3,5,7,11,13,17,19,23$ 共 $9$ 个，依次记为 $p_1,p_2,\cdots,p_9$，由题设，$M$ 中的每一个数可分解素因数为标准形式：$p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_9^{\alpha_9}$ ①
其中 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_9$ 为非负整数．这样，每一个数唯一地对应一个九元数组 $(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_9)$，依 $\alpha_i$ 的奇偶性不同，九元数组共有 $2^9=512$ 种不同的情况．从而 $M$ 中 $1985(>512)$ 个形如 ① 中的数，一定可以找到一对数，它们所对应的九元数组的奇偶性完全相同，把这对数取出后，还可以继续在 $M$ 中取出这样的数对，直至选出 $737(1985-736\times 2=513)$ 对，每一对这样数的乘积的形式为
$( p_1^{\beta_1}p_2^{\beta_2}\cdots p_9^{\beta_9} )^2$ ②
其中 $\beta_i(i=1,2,\cdots,9)$ 为非负整数．
如上所说，在形如 ② 的 $737$ 个数中，必有两个数，它们的指数中的 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_9$ 与 $\beta_1^\prime,\beta_2^\prime,\cdots,\beta_9^\prime$ 的奇偶性相同，这两个数的乘积
$(ab)(cd)=( p_1^{\gamma_1}p_2^{\gamma_2}\cdots p_9^{\gamma_9} )^4$
其中 $\gamma_i(i=1,2,\cdots,9)$ 为非负整数，所以，$a,b,c,d$ 这四个数的乘积为一个正整数的 $4$ 次方．
其中 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_9$ 为非负整数．这样，每一个数唯一地对应一个九元数组 $(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_9)$，依 $\alpha_i$ 的奇偶性不同，九元数组共有 $2^9=512$ 种不同的情况．从而 $M$ 中 $1985(>512)$ 个形如 ① 中的数，一定可以找到一对数，它们所对应的九元数组的奇偶性完全相同，把这对数取出后，还可以继续在 $M$ 中取出这样的数对，直至选出 $737(1985-736\times 2=513)$ 对，每一对这样数的乘积的形式为
$( p_1^{\beta_1}p_2^{\beta_2}\cdots p_9^{\beta_9} )^2$ ②
其中 $\beta_i(i=1,2,\cdots,9)$ 为非负整数．
如上所说，在形如 ② 的 $737$ 个数中，必有两个数，它们的指数中的 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_9$ 与 $\beta_1^\prime,\beta_2^\prime,\cdots,\beta_9^\prime$ 的奇偶性相同，这两个数的乘积
$(ab)(cd)=( p_1^{\gamma_1}p_2^{\gamma_2}\cdots p_9^{\gamma_9} )^4$
其中 $\gamma_i(i=1,2,\cdots,9)$ 为非负整数，所以，$a,b,c,d$ 这四个数的乘积为一个正整数的 $4$ 次方．
答案
解析
备注
