一个棱柱以五边形 ${A}_{1}{A}_{2}{A}_{3}{A}_{4}{A}_{5}$ 与 ${B}_{1}{B}_{2}{B}_{3}{B}_{4}{B}_{5}$ 为上下，底，这两个五边形的每一条边及每条线段 ${A}_{i}{B}_{j}(i,j=1,2,3,4,5)$ 均涂上红色或蓝色，以棱柱顶点为顶点，以已涂色的线段为边的任何三角形均有两边不同色．求证：上，下两底的 $10$ 条边颜色一定相同．（保加利亚）
【难度】
【出处】
1979年第21届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
先证边 $A_1A_2,A_2A_3,A_3A_4,A_4A_5,A_5A_1$ 具有同一种颜色，用反证法．若不然，不妨设 $A_1A_2$ 为红色，$A_2A_3$ 为蓝色．考虑 $A_2B_1,A_2B_2,A_2B_3,A_2B_4,A_2B_5$，其中至少有三条是同色的，不妨设为红色的，记为 $A_2B_i,A_2B_j,A_2B_k$，则 $B_iB_j,B_jB_k,B_kB_i$ 至少有一条是五边形 ${B}_{1}{B}_{2}{B}_{3}{B}_{4}{B}_{5}$ 的边，不妨设为 $B_rB_s$．
若 $B_rB_s$ 为红色，则 $\triangle A_2B_rB_s$ 的三边均为红色，不可能．
若 $B_rB_s$ 为蓝色，因为 $A_1B_r$ 为蓝色（否则 $\triangle A_1A_2B_r$ 为三边均为红色的三角形），$A_1B_s$ 为蓝色，故 $\triangle A_1B_rB_s$ 为三边均为蓝色的三角形，矛盾．
所以，五边形 ${A}_{1}{A}_{2}{A}_{3}{A}_{4}{A}_{5}$ 的五条边具有相同的颜色．同理，五边形 ${B}_{1}{B}_{2}{B}_{3}{B}_{4}{B}_{5}$ 的五条边也具有相同的颜色．
下证上下两个五边形的边具有相同的颜色．若不然，不妨设五边形 ${A}_{1}{A}_{2}{A}_{3}{A}_{4}{A}_{5}$ 的各边为红色，五边形 ${B}_{1}{B}_{2}{B}_{3}{B}_{4}{B}_{5}$ 的各边为蓝色．考虑 $A_1B_1,A_1B_2,\cdots,A_1B_5$，若其中有三条是蓝色的，不妨设为 $A_1B_i,A_1B_j,A_1B_k$，则 $B_iB_j,B_jB_k,B_kB_i$ 中至少有一条是五边形 ${B}_{1}{B}_{2}{B}_{3}{B}_{4}{B}_{5}$ 的边，设为 $B_rB_s$，则 $\triangle A_1B_rB_s$ 的三边均为蓝色，矛盾．因此，$A_1B_1,A_1B_2,\cdots,A_1B_5$ 中至少有三条是红色的．同样，$A_2B_1,A_2B_2,\cdots,A_2B_5$ 中也至少有三条是红色的，这 $6$ 条线段中必有两条的端点是 ${B}_{1},{B}_{2},\cdots,{B}_{5}$ 中的一个点 $B_i$，从而 $\triangle A_1A_2B_i$ 的三边均为红色，矛盾．
若 $B_rB_s$ 为红色，则 $\triangle A_2B_rB_s$ 的三边均为红色，不可能．
若 $B_rB_s$ 为蓝色，因为 $A_1B_r$ 为蓝色（否则 $\triangle A_1A_2B_r$ 为三边均为红色的三角形），$A_1B_s$ 为蓝色，故 $\triangle A_1B_rB_s$ 为三边均为蓝色的三角形，矛盾．
所以，五边形 ${A}_{1}{A}_{2}{A}_{3}{A}_{4}{A}_{5}$ 的五条边具有相同的颜色．同理，五边形 ${B}_{1}{B}_{2}{B}_{3}{B}_{4}{B}_{5}$ 的五条边也具有相同的颜色．
下证上下两个五边形的边具有相同的颜色．若不然，不妨设五边形 ${A}_{1}{A}_{2}{A}_{3}{A}_{4}{A}_{5}$ 的各边为红色，五边形 ${B}_{1}{B}_{2}{B}_{3}{B}_{4}{B}_{5}$ 的各边为蓝色．考虑 $A_1B_1,A_1B_2,\cdots,A_1B_5$，若其中有三条是蓝色的，不妨设为 $A_1B_i,A_1B_j,A_1B_k$，则 $B_iB_j,B_jB_k,B_kB_i$ 中至少有一条是五边形 ${B}_{1}{B}_{2}{B}_{3}{B}_{4}{B}_{5}$ 的边，设为 $B_rB_s$，则 $\triangle A_1B_rB_s$ 的三边均为蓝色，矛盾．因此，$A_1B_1,A_1B_2,\cdots,A_1B_5$ 中至少有三条是红色的．同样，$A_2B_1,A_2B_2,\cdots,A_2B_5$ 中也至少有三条是红色的，这 $6$ 条线段中必有两条的端点是 ${B}_{1},{B}_{2},\cdots,{B}_{5}$ 中的一个点 $B_i$，从而 $\triangle A_1A_2B_i$ 的三边均为红色，矛盾．
答案
解析
备注
