设 $S$ 是边长为 $100$ 的正方形，$L$ 是在 $S$ 内自身不相交的折线段 ${A}_{0}{A}_{1}{A}_{2}\cdots{A}_{n-1}{A}_{n}(A_0\ne A_n)$．对于 $S$ 的边界上的任一点 $P$，总存在 $L$ 上的一点，它与 $P$ 点的距离不大于 $\dfrac{1}{2}$．求证：在 $L$ 上必存在两点 $X、Y$，使得它们之间的距离不大于 $1$，但两点沿折线 $L$ 的距离不小于 $198$．（越南）
【难度】
【出处】
1982年第23届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
设正方形的四个顶点为 $S_1,S_2,S_3,S_4$，由题设，在折线 $L$ 上存在 $4$ 个点 $L_1,L_2,L_3,L_4$，使得 $L_iS_i\leqslant\dfrac{1}{2},i=1,2,3,4$．
在沿 $L$ 由 $A_0$ 到 $A_n$ 时，不妨设先经过 $L_1$，并且 $L_2$ 先于 $L_4$ 出现．考虑边 $S_1S_4$，由题意，对边 $S_1S_4$ 中的每一点 $P$，在 $L$ 上总存在一点 $Q$，使得 $PQ\leqslant\dfrac{1}{2}$．把 $S_1S_4$ 中的点分成两类 $A,B$，若 $Q$ 在 $A_0L_2$ 这段折线上，则 $P\in A$；若 $Q$ 在 $L_2A_n$ 上，则 $P\in B$．易知 $S_1\in A,S_4\in B$，故 $A,B$ 均为非空，且 $A\bigcap B$ 也非空（见说明）．设 $P_0\in A\bigcap B$，则在 $A_0L_2,L_2A_n$ 上分别有点 $Q_1,Q_2$，满足 $P_0Q_1\leqslant\dfrac{1}{2},P_0Q_2\leqslant\dfrac{1}{2}$，所以 $Q_1Q_2\leqslant Q_1P_0+P_0Q_2\leqslant \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1$．
另一方面，从 $Q_1$ 沿着 $L$ 到 $Q_2$ 必经过点 $L_2$，而 $Q_1$ 到 $L_2$ 沿 $L$ 的距离不小于
$\begin{aligned}
Q_1L_2&\geqslant S_1S_4-P_0Q_1-S_2L_2\\
&\geqslant 100-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\\
&=99
\end{aligned}$
同理，$L_2$ 到 $Q_2$ 沿 $L$ 的距离也 $\geqslant 99$．
所以，$Q_1,Q_2$ 之间沿折线 $L$ 的距离不小于 $99+99=198$．
综上，$Q_1,Q_2$ 即为所求的点 $X,Y$．
说明：现来说明 $A\bigcap B$ 是非空的，设在边 $S_1S_4$ 的从 $S_1$ 到 $S_4$ 的方向上，$A$ 中的点最远延伸到 $P_0$，从 $S_4$ 到 $S_1$ 的方向上，$B$ 中的点最远能延伸到 $P_0^\prime$，如果 $P_0^\prime$ 在 $P_0$ 与 $S_4$ 之间，那么区间 $(P_0,P_0^\prime)$ 内任何一点都不满足题设条件，从而 $P_0^\prime$ 必在 $S_1P_0$ 上，即 $P_0\in A\bigcap B$．
在沿 $L$ 由 $A_0$ 到 $A_n$ 时，不妨设先经过 $L_1$，并且 $L_2$ 先于 $L_4$ 出现．考虑边 $S_1S_4$，由题意，对边 $S_1S_4$ 中的每一点 $P$，在 $L$ 上总存在一点 $Q$，使得 $PQ\leqslant\dfrac{1}{2}$．把 $S_1S_4$ 中的点分成两类 $A,B$，若 $Q$ 在 $A_0L_2$ 这段折线上，则 $P\in A$；若 $Q$ 在 $L_2A_n$ 上，则 $P\in B$．易知 $S_1\in A,S_4\in B$，故 $A,B$ 均为非空，且 $A\bigcap B$ 也非空（见说明）．设 $P_0\in A\bigcap B$，则在 $A_0L_2,L_2A_n$ 上分别有点 $Q_1,Q_2$，满足 $P_0Q_1\leqslant\dfrac{1}{2},P_0Q_2\leqslant\dfrac{1}{2}$，所以 $Q_1Q_2\leqslant Q_1P_0+P_0Q_2\leqslant \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1$．
另一方面，从 $Q_1$ 沿着 $L$ 到 $Q_2$ 必经过点 $L_2$，而 $Q_1$ 到 $L_2$ 沿 $L$ 的距离不小于
$\begin{aligned}
Q_1L_2&\geqslant S_1S_4-P_0Q_1-S_2L_2\\
&\geqslant 100-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\\
&=99
\end{aligned}$
同理，$L_2$ 到 $Q_2$ 沿 $L$ 的距离也 $\geqslant 99$．
所以，$Q_1,Q_2$ 之间沿折线 $L$ 的距离不小于 $99+99=198$．
综上，$Q_1,Q_2$ 即为所求的点 $X,Y$．
说明：现来说明 $A\bigcap B$ 是非空的，设在边 $S_1S_4$ 的从 $S_1$ 到 $S_4$ 的方向上，$A$ 中的点最远延伸到 $P_0$，从 $S_4$ 到 $S_1$ 的方向上，$B$ 中的点最远能延伸到 $P_0^\prime$，如果 $P_0^\prime$ 在 $P_0$ 与 $S_4$ 之间，那么区间 $(P_0,P_0^\prime)$ 内任何一点都不满足题设条件，从而 $P_0^\prime$ 必在 $S_1P_0$ 上，即 $P_0\in A\bigcap B$．
答案
解析
备注
