设 $\triangle ABC$ 是等边三角形，$S$ 是其三边 $AB、BC、CA$ 上所有点（包括 $A、B、C$）的集合，若把集合 $S$ 任意分成两个不交的子集，其中是否至少有一个子集中含有某直角三角形的三个顶点？证明你的结论．（比利时）
【难度】
【出处】
1983年第24届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
结论是肯定的．
分别在边 $BC,CA,AB$ 上取点 $P,Q,R$，使得 $AR:RB=BP:PC=CQ:QA=1:2$，则 $PQ\perp CA,QR\perp AB,RP\perp BC$．
对点集 $S$ 中的进行任意红，黑二染色（即把集 $S$ 任意分成两个不交的子集），点集 $S$ 分成了红子集与黑子集．
点 $P,Q,R$ 中必有两点是同色的，不妨设点 $P,Q$ 同为红色．若边 $AC$ 上还有红点 $X$，则 $\triangle PQX$ 是顶点都是红色的直角三角形．
设边 $AC$ 上除点 $Q$ 外均为黑点，若边 $AB$ 上除点 $A$ 外还有黑点，设为 $Y$，过点 $Y$ 作 $YZ\perp AC$ 交 $AC$ 于点 $Z$，则 $Z$ 为黑点，于是 $\triangle AYZ$ 是顶点均为黑色的直角三角形．
若边 $AB$ 上除点 $A$ 外均为红点，过点 $P$ 作 $PM\perp AB$ 交边 $AB$ 于点 $M$，则 $\triangle BPM$ 为顶点均为红色的直角三角形．
综上所述，点集 $S$ 总有一个子集含有一个直角三角形的三顶点．
分别在边 $BC,CA,AB$ 上取点 $P,Q,R$，使得 $AR:RB=BP:PC=CQ:QA=1:2$，则 $PQ\perp CA,QR\perp AB,RP\perp BC$．
对点集 $S$ 中的进行任意红，黑二染色（即把集 $S$ 任意分成两个不交的子集），点集 $S$ 分成了红子集与黑子集．
点 $P,Q,R$ 中必有两点是同色的，不妨设点 $P,Q$ 同为红色．若边 $AC$ 上还有红点 $X$，则 $\triangle PQX$ 是顶点都是红色的直角三角形．
设边 $AC$ 上除点 $Q$ 外均为黑点，若边 $AB$ 上除点 $A$ 外还有黑点，设为 $Y$，过点 $Y$ 作 $YZ\perp AC$ 交 $AC$ 于点 $Z$，则 $Z$ 为黑点，于是 $\triangle AYZ$ 是顶点均为黑色的直角三角形．
若边 $AB$ 上除点 $A$ 外均为红点，过点 $P$ 作 $PM\perp AB$ 交边 $AB$ 于点 $M$，则 $\triangle BPM$ 为顶点均为红色的直角三角形．
综上所述，点集 $S$ 总有一个子集含有一个直角三角形的三顶点．
答案
解析
备注
