1990年第31届IMO试题

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  二试组合部分

略

问题等价于存在 $1^2,2^2,\cdots,1990^2$ 的一个排列 $a_1,a_2,\cdots,a_{1990}$，使得 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{1990}a_k(\cos k\theta+i\sin k\theta)=0$ ①
其中 $\theta=\dfrac{2\pi}{1990}=\dfrac{\pi}{995}$．
令 $\{(a_{2k-1},a_{2k-1+995}),k=1,2,\cdots,995\}=\{((2n-1)^2,(2n)^2),n=1,2,\cdots,995\}$，规定 $a_{j+1990}=a_j,j=1,2,\cdots$．则 ① 等价于
$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{995}b_k(\cos 2k\theta+i\sin 2k\theta)=0$ ②
其中 $b_k$ 是 $(2n)^2-(2n-1)^2=4n-1(n=1,2,\cdots,995)$ 的一个排列．令
$\displaystyle S_r=\sum\limits_{t=0}^4b_{199t+5r}(\cos 2(199t+5r)\theta+i\sin 2(199t+5r)\theta)(r=1,2,\cdots,199)$，
并且取 $b_{199t+5r}=4(5r+t)-17$（规定 $b_{j+995}=b_j$）
则 $\displaystyle \sum\limits_{t=0}^4(\cos 2\times 199t\theta+i\sin 2\times 199t\theta)=0$
$\begin{aligned}S_r&=4(\cos 10r\theta+i\sin 10r\theta)\sum_{t=0}^4(\cos 2\times 199t\theta+i\sin 2 \times 199t\theta)\\
&=4(\cos 10r\theta +i\sin 10 r\theta)S
\end{aligned}$
其中 $S$ 与 $r$ 无关．
因此 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{995}b_k(\cos 2k\theta+i\sin 2k\theta)=4S\sum_{r=1}^{199}(\cos 10r\theta+i\sin 10r\theta)=0$
即 ② 成立．