从给定的正整数 ${n}_{0}$ 开始，$A,B$ 二人按照如下规则做轮流取整数 $n_1,n_2,n_3,\cdots$ 的游戏：当 $n_{2k}$ 被取定后，$A$ 可取满足 ${{n}_{2k}}\leqslant {{n}_{2k+1}}\leqslant n_{2k}^{2}$ 的任意一个整数；当 $n_{2k+1}$ 被取定后，$B$ 可取 ${n}_{2k+2}$，这里 ${n}_{2k+2}$ 是使得 $\dfrac{{{n}_{2k+1}}}{{{n}_{2k+2}}}$ 恰为一个素数的正整数幂的任意一个整数．约定 $A$ 先取得 $1990$ 为胜，$B$ 取得 $1$ 为胜．试问：
（1）对怎样的 ${n}_{0}$，$A$ 有必胜策略？
（2）对怎样的 ${n}_{0}$，$B$ 有必胜策略？
（3）对怎样的 ${n}_{0}$，双方均无必胜策略？（德国）
（1）对怎样的 ${n}_{0}$，$A$ 有必胜策略？
（2）对怎样的 ${n}_{0}$，$B$ 有必胜策略？
（3）对怎样的 ${n}_{0}$，双方均无必胜策略？（德国）
【难度】
【出处】
1990年第31届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
$n_0=2$ 时，$A$ 只能取 $2,3,4,B$ 可取 $1,B$ 胜．
$n_0=3$ 时，$A$ 只能取 $3$ 至 $9$，均为形如 $p^k$ 或 $2p^k$ 的数（$p$ 为质数），从而 $B$ 可取 $1$ 或 $2,B$ 胜．
$n_0=4$ 时，$A$ 只能取 $4$ 至 $16$，均为形如 $p^k$ 或 $2p^k$ 或 $3p^k$ 的数，从而 $B$ 可取 $1,2$ 或 $3,B$ 胜．
$n_0=5$ 时，$A$ 只能取 $5$ 至 $25$，均为形如 $p^k,2p^k,3p^k$ 或 $4p^k$ 的数，$B$ 可取 $1,2,3,4,B$ 胜．
若 $45\leqslant n_0\leqslant 1990$，则 $A$ 可取 $1990$，$A$ 胜．
若 $21\leqslant n_0\leqslant 44$，则 $A$ 可取 $420=2^2\times 3\times 5\times 7$，$B$ 所取的数在 $45$ 与 $1990$ 之间．由上一种情况，$A$ 胜．
若 $13\leqslant n_0\leqslant 20$，则取 $n_1=2^3\times 3\times 7=168$，$B$ 所取的数在 $21$ 与 $1990$ 之间，因而 $A$ 胜．
若 $11\leqslant n_0\leqslant 12$，则取 $n_1=3\times 5\times 7=108$，$B$ 所取的数在 $15$ 与 $1990$ 之间，因而 $A$ 胜．
若 $8\leqslant n_0\leqslant 10$，则取 $n_1=2^2\times 2\times 5=60$，$B$ 所取的数在 $12$ 与 $1990$ 之间，因而 $A$ 胜．
若 $n_0>1990$，取 $n_1=2^{r+1}\times 3^2$，满足 $2^r\times 3^2<n_0\leqslant 2^{r+1}\times 3^2<n_0^2$，
则 $B$ 所取的数 $n_2$，满足 $8\leqslant n_2<n_0$．用 $n_2$ 代替 $n_0$，继续采取上面的方法，经过有限步后得到 $8\leqslant n_{2k}\leqslant 1990$，于是 $A$ 胜．
最后，在 $n_0=6$ 或 $7$ 时，$A$ 取 $n_1=30$，则 $B$ 只能取 $6$（$B$ 取 $10$ 或 $15$，均 $A$ 胜）．$A$ 再取 $30$，这样 $A$ 立于不败之地．
另一方面，在 $\leqslant 49$ 的数中 $A$ 只有取 $30$ 与 $42$ 才能保证 $n_2\geqslant
6$，而这时 $B$ 总可取 $n_2=6,1$，因此，$B$ 立于不败之地．即在 $n_0$ 为 $6$ 或 $7$ 时，两人均无必胜策略．
综上所述，当 $n_0\geqslant 8$ 时，$A$ 有必胜策略；当 $n_0\leqslant 5$ 时，$B$ 有必胜策略；当 $n_0=6,7$ 时，双方均无必胜策略．
$n_0=3$ 时，$A$ 只能取 $3$ 至 $9$，均为形如 $p^k$ 或 $2p^k$ 的数（$p$ 为质数），从而 $B$ 可取 $1$ 或 $2,B$ 胜．
$n_0=4$ 时，$A$ 只能取 $4$ 至 $16$，均为形如 $p^k$ 或 $2p^k$ 或 $3p^k$ 的数，从而 $B$ 可取 $1,2$ 或 $3,B$ 胜．
$n_0=5$ 时，$A$ 只能取 $5$ 至 $25$，均为形如 $p^k,2p^k,3p^k$ 或 $4p^k$ 的数，$B$ 可取 $1,2,3,4,B$ 胜．
若 $45\leqslant n_0\leqslant 1990$，则 $A$ 可取 $1990$，$A$ 胜．
若 $21\leqslant n_0\leqslant 44$，则 $A$ 可取 $420=2^2\times 3\times 5\times 7$，$B$ 所取的数在 $45$ 与 $1990$ 之间．由上一种情况，$A$ 胜．
若 $13\leqslant n_0\leqslant 20$，则取 $n_1=2^3\times 3\times 7=168$，$B$ 所取的数在 $21$ 与 $1990$ 之间，因而 $A$ 胜．
若 $11\leqslant n_0\leqslant 12$，则取 $n_1=3\times 5\times 7=108$，$B$ 所取的数在 $15$ 与 $1990$ 之间，因而 $A$ 胜．
若 $8\leqslant n_0\leqslant 10$，则取 $n_1=2^2\times 2\times 5=60$，$B$ 所取的数在 $12$ 与 $1990$ 之间，因而 $A$ 胜．
若 $n_0>1990$，取 $n_1=2^{r+1}\times 3^2$，满足 $2^r\times 3^2<n_0\leqslant 2^{r+1}\times 3^2<n_0^2$，
则 $B$ 所取的数 $n_2$，满足 $8\leqslant n_2<n_0$．用 $n_2$ 代替 $n_0$，继续采取上面的方法，经过有限步后得到 $8\leqslant n_{2k}\leqslant 1990$，于是 $A$ 胜．
最后，在 $n_0=6$ 或 $7$ 时，$A$ 取 $n_1=30$，则 $B$ 只能取 $6$（$B$ 取 $10$ 或 $15$，均 $A$ 胜）．$A$ 再取 $30$，这样 $A$ 立于不败之地．
另一方面，在 $\leqslant 49$ 的数中 $A$ 只有取 $30$ 与 $42$ 才能保证 $n_2\geqslant
6$，而这时 $B$ 总可取 $n_2=6,1$，因此，$B$ 立于不败之地．即在 $n_0$ 为 $6$ 或 $7$ 时，两人均无必胜策略．
综上所述，当 $n_0\geqslant 8$ 时，$A$ 有必胜策略；当 $n_0\leqslant 5$ 时，$B$ 有必胜策略；当 $n_0=6,7$ 时，双方均无必胜策略．
答案
解析
备注
