平面上已给出两个定点 $O$ 和 $A$，对此平面上的异于 $O$ 的任一点 $X$，将从从 $OA$ 依逆时针方向转到 $OX$ 时所转过的角度记为 $\alpha(X)(0\leqslant \alpha(X)<2π)$．设 $C(X)$ 为以 $O$ 为圆心，$OX+\dfrac{\alpha(X)}{OX}$ 为半径的圆．已知此平面上每点都被涂上有限多种颜色中的一种，求证：一定存在一点 $Y$，$\alpha(Y)>0$，且点 $Y$ 的颜色在圆周 $C(Y)$ 上出现．（罗马尼亚）
【难度】
【出处】
1984年第25届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
由于平面上每一点都被涂上 $n$ 种不同颜色中的一种，那么对于任何点集，不同的颜色组合总共有 $C_n^1+C_n^2+\cdots+C_n^n=2^n-1$ 种．
考虑以 $O$ 为圆心，半径小于 $1$ 的 $2^n$ 个同心圆，由抽屉原则知，一定有两个圆，不妨设为 $R,S$，圆上所染颜色的集合相同．它们的半径记为 $r,s$，且 $0<r<s<1$．
显然，$r(s-r)\in(0,1)\subset (0,2\pi)$．$\odot (O,r)$ 上以 $r(s-r)$ 为幅角的点 $Y$，它的颜色出现在 $\odot (O,s)$ 上，而 $r+\dfrac{r(s-r)}{r}=s$，所以，$\odot (O,s)$ 即为圆 $C(Y)$，从而命题得证．
考虑以 $O$ 为圆心，半径小于 $1$ 的 $2^n$ 个同心圆，由抽屉原则知，一定有两个圆，不妨设为 $R,S$，圆上所染颜色的集合相同．它们的半径记为 $r,s$，且 $0<r<s<1$．
显然，$r(s-r)\in(0,1)\subset (0,2\pi)$．$\odot (O,r)$ 上以 $r(s-r)$ 为幅角的点 $Y$，它的颜色出现在 $\odot (O,s)$ 上，而 $r+\dfrac{r(s-r)}{r}=s$，所以，$\odot (O,s)$ 即为圆 $C(Y)$，从而命题得证．
答案
解析
备注
