对任意正整数 $n\geqslant 3$，在欧式平面上存都在 $n$ 个点，使得其中任何两点间的距离是无理数而每三点构成的三角非退化，且面积为有理数．（民主德国）
【难度】
【出处】
1987年第28届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $n$ 个点 $P_1,P_2,\cdots,P_n$ 的坐标为 $P_i(i,i^2),i=1,2,\cdots,n$．这 $n$ 个点都在抛物线 $y=x^2$ 上．因为直线与抛物线的交点至多两个，故此 $n$ 个点中任三点不共线．
对于这 $n$ 个点中的任意两点 $P_i,P_j(i<j)$，
有 $|P_iP_j|=\sqrt{(j-i)^2+(j^2-i^2)}=(j-i)\sqrt{1+(i+j)^2}$
而 $(i+j)^2<1+(i+j)^2<(i+j+1)^2$
所以 $\sqrt{1+(i+j)^2}$ 是无理数，从而 $|P_iP_j|$ 是无理数．
又对于这 $n$ 个点中的任意三点 $P_i,P_j,P_k,\triangle P_iP_jP_k$ 的面积为
$\dfrac{1}{2}\begin{vmatrix}1 &1& 1 \\i & j&k\\i^2&j^2&k^2\end{vmatrix}$
的绝对值，这显然是有理数．
综上所述，$P_1,P_2,\cdots,P_n$ 这 $n$ 个点满足要求．
对于这 $n$ 个点中的任意两点 $P_i,P_j(i<j)$，
有 $|P_iP_j|=\sqrt{(j-i)^2+(j^2-i^2)}=(j-i)\sqrt{1+(i+j)^2}$
而 $(i+j)^2<1+(i+j)^2<(i+j+1)^2$
所以 $\sqrt{1+(i+j)^2}$ 是无理数，从而 $|P_iP_j|$ 是无理数．
又对于这 $n$ 个点中的任意三点 $P_i,P_j,P_k,\triangle P_iP_jP_k$ 的面积为
$\dfrac{1}{2}\begin{vmatrix}1 &1& 1 \\i & j&k\\i^2&j^2&k^2\end{vmatrix}$
的绝对值，这显然是有理数．
综上所述，$P_1,P_2,\cdots,P_n$ 这 $n$ 个点满足要求．
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