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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
21771 591129a6e020e70007fbe9e3 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 的各项均为正数，其前 $n$ 项和为 $S_n$，且对任意的 $m,n\in\mathbb N^{\ast}$，都有 $(S_{m+n}+S_1)^2=4a_{2m}a_{2n}$． 2022-04-17 20:04:12
21766 5927db1f50ce840009d770a0 高中 解答题 高中习题 在数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 中，${a_1} = 1$，${a_{n + 1}} = c{a_n} + {c^{n + 1}}\left(2n + 1\right)\left(n \in {{\mathbb{N}}^ * }\right)$，其中实数 $c \ne 0$． 2022-04-17 20:01:12
21602 590aa7456cddca00092f6f65 高中 解答题 高中习题 正整数数列 $\{a_n\}$ 满足对任意正整数 $n$，均有 $a_{a_n}+a_n=2n$，求 $a_n$． 2022-04-17 20:29:10
21575 590ac0d56cddca0008610e23 高中 解答题 高中习题 设 $b>0$，数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=b$，$a_n=\dfrac{nba_{n-1}}{a_{n-1}+2n-2}$（$n\geqslant 2$，$n\in\mathbb N^{\ast}$）． 2022-04-17 20:14:10
21527 5a67169d6603190007665593 高中 解答题 自招竞赛 如果整数 $n \geqslant 2$，证明：$$\left(1+\dfrac {1}{2^2}\right)\left(1+\dfrac {1}{3^2}\right)\cdots \left(1+\dfrac {1}{n^2}\right)<2.$$ 2022-04-17 20:49:09
21508 5a694d8efab5d70007676b66 高中 解答题 高中习题 $n$ 个白球和 $n+1$ 个黑球任意排成一列．证明：无论如何排列，都至少存在一个黑球，其左侧（不包括它自己）的黑球和白球个数相等（可以为 $0$）． 2022-04-17 20:39:09
21479 5a6971cdfab5d70007676b90 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=\dfrac{n^2+n+1}{n^2+n}a_n+\dfrac{1}{2^n}$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）． 2022-04-17 20:25:09
21442 5a71da639bb0f20009089f5a 高中 解答题 高中习题 已知 $a , b , c$ 都是有理数，$\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c $ 也是有理数，证明：$\sqrt a , \sqrt b , \sqrt c $ 都是有理数． 2022-04-17 20:04:09
21424 5a71dafb9bb0f20009089f5f 高中 解答题 高中习题 已知 $n\geqslant 2$ 且 $n\in\mathbb N$，求证：$\sqrt 1+\sqrt 2+\sqrt 3+\cdots +\sqrt n$ 是无理数． 2022-04-17 20:51:08
21334 59ba35d398483e0009c73114 高中 解答题 高中习题 求证：$\displaystyle \sum_{k=0}^{\left[\frac n2\right]}(-1)^k{\rm C}_{n-k}^k(2\cos x)^{n-2k}=\dfrac{\sin (n+1)x}{\sin x}$． 2022-04-17 20:02:08
21331 59bbd59b8b403a0008ec5f78 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 满足对任意正整数 $n\in\mathbb N^{\ast}$，都有 $a_n>0$ 且 $a_{n+1}+\dfrac{1}{a_n}<2$． 2022-04-17 20:00:08
21018 5c6e07a1210b281dbaa9355c 高中 解答题 自招竞赛 由能被3整除且比完全平方数小1的正整数组成的递增序列3，15，24，48，…，这个序列的第1994项除以1000的余数是多少？ 2022-04-17 20:07:05
20740 5c75fa11210b284290fc24c1 高中 解答题 自招竞赛 定义数列 $\left| {{a}_{n}} \right|$ 如下：${{a}_{1}}=3$，${{a}_{2}}=3$，当 $n\geqslant 2$ 时，${{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}=a_{n}^{2}+2007$ 。求小于等于 $\frac{a_{2007}^{2}a_{2006}^{2}}{{{a}_{2007}}{{a}_{2006}}}$ 的最大整数。 2022-04-17 20:35:02
20706 5c762032210b28428f14cdc4 高中 解答题 自招竞赛 定义数列 $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ 如下：${{a}_{0}}=1$，${{a}_{1}}=1$，当 $n\geqslant 2$ 时有 ${{a}_{n}}={{a}_{n-1}}+\frac{a_{n-1}^{2}}{{{a}_{n-2}}}$；定义数列 $\left\{ {{b}_{n}} \right\}$ 如下：${{b}_{0}}=1, {{b}_{1}}=3$，当 $n\geqslant 2$ 时有 ${{b}_{n}}={{b}_{n-1}}+\frac{b_{n-1}^{2}}{{{b}_{n-2}}}$．求 $\frac{{{b}_{32}}}{{{a}_{32}}}$ 的值． 2022-04-17 20:15:02
20650 5927923b74a309000798cde6 高中 解答题 高考真题 已知函数 $f\left( x \right) = {x^3}$，$g\left( x \right) = x + \sqrt x $． 2022-04-17 20:44:01
20029 5cbd8a57210b28021fc759f4 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1=\dfrac{\pi}{3},0<a_n<\dfrac{\pi}{3},\sin a_{n+1}\leqslant \dfrac{1}{3}\sin 3a_n(n\geqslant 2)$．求证：$\sin a_n<\dfrac{1}{\sqrt{n}}$． 2022-04-17 19:55:55
20012 5cc6b606210b280220ed26e8 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\{a_n\}$ 满足；$a_1=1,a_{n+1}=\dfrac{1}{8}a_n^2+m(n\in\mathbf N^{\ast})$，若对任意正整数 $ n $，都有 $ a_n<4 $，求实数 $ m$ 的最大值． 2022-04-17 19:45:55
19985 5cda5ae8210b280220ed2d28 高中 解答题 自招竞赛 设 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 为非负数．求证：$\sqrt{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots+{{a}_{n}}}+\sqrt{{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+\cdots +{{a}_{n}}}+\sqrt{{{a}_{3}+\cdots+{{a}_{n}}}}+\cdots +\sqrt{{{a}_{n}}}\geqslant \sqrt{{{a}_{1}}+4{{a}_{2}}+9{{a}_{3}}+\cdots+{{n}^{2}}{{a}_{n}}}.$ 2022-04-17 19:31:55
19972 5ce35e47210b28021fc764af 高中 解答题 自招竞赛 已知函数 $f_1(x)=\sqrt{x^2+48}$，当 $n\in\mathbf N^{\ast},n\geqslant 2$ 时，$f_n(x)=\sqrt{x^2+6f_{n-1}(x)}$．求方程 $f_n(x)=2x$ 的实数解． 2022-04-17 19:24:55
19968 5ce38a6a210b28021fc7650b 高中 解答题 自招竞赛 旺达先生经常忘记该记住的数字，如朋友的手机号，保险柜的密码等等，为此厂家专门为他设计了办公室保险柜的密码锁．此密码锁的密码是三位数，但只要输入的三位数中有两个数位上的数字正确，保险柜的锁就会打开．旺达先生又忘记他设置的密码了．他至少要尝试多少次才能保证保险柜一定能打开？ 2022-04-17 19:22:55
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