设 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 为非负数．求证：$\sqrt{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots+{{a}_{n}}}+\sqrt{{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+\cdots +{{a}_{n}}}+\sqrt{{{a}_{3}+\cdots+{{a}_{n}}}}+\cdots +\sqrt{{{a}_{n}}}\geqslant \sqrt{{{a}_{1}}+4{{a}_{2}}+9{{a}_{3}}+\cdots+{{n}^{2}}{{a}_{n}}}.$
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛广西壮族自治区预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
当 $n=1$ 时，结论显然成立．假设当 $n=k$ 时，结论对于任意 $k$ 个非负数成立．则当n=k+1时，对于任意 $k+1$ 个非负数 $a_1,a_2,\cdots,a_k,a_{k+1}$，根据归纳假设有 $\sqrt{{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+\cdots{{a}_{k+1}}}+\sqrt{{{a}_{3}}+\cdots +{{a}_{k+1}}}+\cdots +\sqrt{{{a}_{k+1}}}\geqslant\sqrt{{{a}_{2}}+4{{a}_{3}}+9{{a}_{4}}+\cdots +{{k}^{2}}{{a}_{k+1}}}$，从而 $\sqrt{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots+{{a}_{k+1}}}+\sqrt{{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+\cdots{{a}_{k+1}}}+\sqrt{{{a}_{3}}+\cdots +{{a}_{k+1}}}+\cdots +\sqrt{{{a}_{k+1}}}\geqslant\sqrt{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots +{{a}_{k+1}}}+\sqrt{{{a}_{2}}+4{{a}_{3}}+9{{a}_{4}}+\cdots+{{k}^{2}}{{a}_{k+1}}}$．下面证明 $\sqrt{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots+{{a}_{k+1}}}+\sqrt{{{a}_{2}}+4{{a}_{3}}+\cdots +{{k}^{2}}{{a}_{k+1}}}\geqslant\sqrt{{{a}_{1}}+4{{a}_{2}}+\cdots +{{\left( k+1 \right)}^{2}}{{a}_{k+1}}}$．①
由柯西不等式得 $\left[{{\left( \sqrt{{{a}_{2}}} \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{{{a}_{3}}}\right)}^{2}}+\cdots +{{\left( \sqrt{{{a}_{k+1}}} \right)}^{2}} \right]\cdot\left[ {{\left( \sqrt{{{a}_{2}}} \right)}^{2}}+{{\left( 2\sqrt{{{a}_{3}}}\right)}^{2}}+\cdots +{{\left( k\sqrt{{{a}_{k+1}}} \right)}^{2}} \right]\\\geqslant{{\left( \sqrt{{{a}_{2}}}\cdot \sqrt{{{a}_{2}}}+\sqrt{{{a}_{3}}}\cdot2\sqrt{{{a}_{3}}}+\sqrt{{{a}_{4}}}\cdot 3\sqrt{{{a}_{4}}}+\cdots+\sqrt{{{a}_{k+1}}}\cdot k\sqrt{{{a}_{k+1}}} \right)}^{2}}.$
即 $\left({{a}_{2}}+\cdots +{{a}_{k+1}} \right)\cdot \left( {{a}_{2}}+4{{a}_{3}}+\cdots+{{k}^{2}}{{a}_{k+1}} \right)\geqslant {{\left({{a}_{2}}+2{{a}_{3}}+3{{a}_{4}}+\cdots +k{{a}_{k+1}} \right)}^{2}}.$
于是有 $\sqrt{\left({{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots +{{a}_{k+1}} \right)\cdot \left({{a}_{2}}+4{{a}_{3}}+\cdots +{{k}^{2}}{{a}_{k+1}} \right)}\geqslant \left({{a}_{2}}+2{{a}_{3}}+3{{a}_{4}}+\cdots +k{{a}_{k+1}} \right)$．
故 ${{\left(\sqrt{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots+{{a}_{k+1}}}+\sqrt{{{a}_{2}}+4{{a}_{3}}+\cdots +{{k}^{2}}{{a}_{k+1}}}\right)}^{2}}\geqslant {{a}_{1}}+4{{a}_{2}}+\cdots +{{\left( k+1\right)}^{2}}{{a}_{k+1}}$，
从而 $\sqrt{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots+{{a}_{k+1}}}+\sqrt{{{a}_{2}}+4{{a}_{3}}+\cdots +{{k}^{2}}{{a}_{k+1}}}\geqslant\sqrt{{{a}_{1}}+4{{a}_{2}}+\cdots +{{\left( k+1 \right)}^{2}}{{a}_{k+1}}}$，
即 ① 式成立．
由数学归纳法可知，对任意的非负实数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 结论均成立．
由柯西不等式得 $\left[{{\left( \sqrt{{{a}_{2}}} \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{{{a}_{3}}}\right)}^{2}}+\cdots +{{\left( \sqrt{{{a}_{k+1}}} \right)}^{2}} \right]\cdot\left[ {{\left( \sqrt{{{a}_{2}}} \right)}^{2}}+{{\left( 2\sqrt{{{a}_{3}}}\right)}^{2}}+\cdots +{{\left( k\sqrt{{{a}_{k+1}}} \right)}^{2}} \right]\\\geqslant{{\left( \sqrt{{{a}_{2}}}\cdot \sqrt{{{a}_{2}}}+\sqrt{{{a}_{3}}}\cdot2\sqrt{{{a}_{3}}}+\sqrt{{{a}_{4}}}\cdot 3\sqrt{{{a}_{4}}}+\cdots+\sqrt{{{a}_{k+1}}}\cdot k\sqrt{{{a}_{k+1}}} \right)}^{2}}.$
即 $\left({{a}_{2}}+\cdots +{{a}_{k+1}} \right)\cdot \left( {{a}_{2}}+4{{a}_{3}}+\cdots+{{k}^{2}}{{a}_{k+1}} \right)\geqslant {{\left({{a}_{2}}+2{{a}_{3}}+3{{a}_{4}}+\cdots +k{{a}_{k+1}} \right)}^{2}}.$
于是有 $\sqrt{\left({{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots +{{a}_{k+1}} \right)\cdot \left({{a}_{2}}+4{{a}_{3}}+\cdots +{{k}^{2}}{{a}_{k+1}} \right)}\geqslant \left({{a}_{2}}+2{{a}_{3}}+3{{a}_{4}}+\cdots +k{{a}_{k+1}} \right)$．
故 ${{\left(\sqrt{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots+{{a}_{k+1}}}+\sqrt{{{a}_{2}}+4{{a}_{3}}+\cdots +{{k}^{2}}{{a}_{k+1}}}\right)}^{2}}\geqslant {{a}_{1}}+4{{a}_{2}}+\cdots +{{\left( k+1\right)}^{2}}{{a}_{k+1}}$，
从而 $\sqrt{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots+{{a}_{k+1}}}+\sqrt{{{a}_{2}}+4{{a}_{3}}+\cdots +{{k}^{2}}{{a}_{k+1}}}\geqslant\sqrt{{{a}_{1}}+4{{a}_{2}}+\cdots +{{\left( k+1 \right)}^{2}}{{a}_{k+1}}}$，
即 ① 式成立．
由数学归纳法可知，对任意的非负实数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 结论均成立．
答案
解析
备注
