已知数列 $\{a_n\}$ 满足对任意正整数 $n\in\mathbb N^{\ast}$，都有 $a_n>0$ 且 $a_{n+1}+\dfrac{1}{a_n}<2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求证：$a_{n+2}<a_{n+1}<2$；标注答案略解析根据题意，有\[a_{n+1}<2-\dfrac{1}{a_n}<2,\]又\[a_{n+2}-a_{n+1}<2-\dfrac{1}{a_{n+1}}-a_{n+1}<-\dfrac{(a_{n+1}-1)^2}{a_{n+1}}<0,\]于是 $a_{n+2}<a_{n+1}$，原命题得证．
-
求证：$a_n>1$．标注答案略解析用反证法．假设存在 $a_k\leqslant 1$，则 $a_{k+1}<1$，且考虑不动点，可以得到\[1-a_{n+1}>\dfrac 1{a_n}\cdot (1-a_n),\]于是当 $n\geqslant k+1$ 时，有\[1-a_{n+1}>\dfrac 1{a_{k+1}}\cdot (1-a_n),\]进而\[1-a_{k+1+m}>\dfrac{1}{a_{k+1}^m}\cdot (1-a_{k+1}),\]于是必然存在正整数 $m$ 使得\[1-a_{k+1+m}>1,\]与数列 $\{a_n\}$ 是正数数列矛盾，因此原命题成立．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
