如果整数 $n \geqslant 2$，证明：$$\left(1+\dfrac {1}{2^2}\right)\left(1+\dfrac {1}{3^2}\right)\cdots \left(1+\dfrac {1}{n^2}\right)<2.$$
【难度】
【出处】
2017年全国高中数学联赛天津市预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
尝试加强结论以后用数学归纳法证明．引入待定数列 $\{a_n\}$，使得\[\forall n\geqslant 2,1+\dfrac{1}{n^2}<\dfrac{2-a_n}{2-a_{n-1}},\]也即\[\forall n\geqslant 2,\dfrac{a_{n-1}-a_n}{2-a_{n-1}}>\dfrac{1}{n^2},\]设\[a_n=\dfrac{\mu}{n+1+\lambda},\]则上述不等式等价于\[\dfrac{\dfrac{\mu}{n+\lambda}-\dfrac{\mu}{n+\lambda+1}}{2-\dfrac{\mu}{n+\lambda}}>\dfrac{1}{n^2},\]也即\[(\mu-2)n^2+(\mu-4\lambda -2)n-(\lambda+1)(2\lambda-\mu)\geqslant 0,\]结合初始条件\[\dfrac 54<2-a_2,\]也即\[\dfrac{\mu}{\lambda+3}\leqslant \dfrac 34,\]可取\[a_n=\dfrac{2}{n+1},\]用数学归纳法不难证明\[\left(1+\dfrac {1}{2^2}\right)\left(1+\dfrac {1}{3^2}\right)\cdots \left(1+\dfrac {1}{n^2}\right)<2-\dfrac{2}{n+1},\]因此原命题得证．
答案
解析
备注
