已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=\dfrac{n^2+n+1}{n^2+n}a_n+\dfrac{1}{2^n}$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求证：当 $n\geqslant 2$ 时，$a_n\geqslant 2$；标注答案略解析由于\[a_{n+1}-a_n=\dfrac{1}{n^2+n}a_n+\dfrac{1}{2^n},\]于是 $\{a_n\}$ 单调递增，又 $a_2=2$，因此原命题得证．
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求证：$a_n<\dfrac{17}4$．标注答案略解析根据递推公式，可得\[a_3=\dfrac 76a_2+\dfrac 14=\dfrac{31}{12},\]根据第 $(1)$ 小题的结果，当 $n\geqslant 2$ 时，有\[a_{n+1}-a_3=\sum_{k=3}^n\dfrac{a_k}{k^2+k}+\dfrac 14-\dfrac{1}{2^n},\]于是\[a_{n+1}-a_3<\dfrac 13a_n+\dfrac 14,\]解方程\[x-\dfrac{31}{12}=\dfrac 13x+\dfrac14,\]可得\[x=\dfrac{17}4,\]于是可用数学归纳法证明原命题．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
