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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
24563 591416c80cbfff000adcab88 高中 解答题 高中习题 已知定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 均为周期函数，若对于任意实数 $a$，相应的函数 $h_a(x)=f(x+a)-f(x)$ 或为常值函数或有最小正周期，且 $f(x)$ 与 $g(x)$ 中至少有一个有界，则 $f(x)+g(x)$ 为周期函数的充要条件是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 有可公度之周期（即周期的比值为有理数）． 2022-04-17 20:54:37
24342 59128c8fe020e7000a798bc4 高中 解答题 自招竞赛 数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 满足：$\dfrac{1}{{{a_1}}} + \dfrac{1}{{{a_2}}} + \cdots + \dfrac{1}{{{a_n}}} = \dfrac{1}{{{a_1}}} \cdot \dfrac{1}{{{a_2}}} \cdots \dfrac{1}{{{a_n}}}$． 2022-04-17 20:51:35
24340 5927a7fd74a309000813f6ae 高中 解答题 高考真题 已知 $f$ 是直角坐标平面 $xOy$ 到自身的一个映射，点 $P$ 在映射 $f$ 下的象为点 $Q$，记作 $Q=f(P)$．设 $P(x_{1},y_{1})$，$P_{2}=f(P_{1})$，$P_{3}=f(P_{2})$，$\cdots$，$P_{n}=f(P_{n-1})$，$\cdots\cdots$．如果存在一个圆，试所有的点 $P_{n}(x_{n},y_{n})(n\in\mathbb N^{*})$ 都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点 $P(x_{n},y_{n})$ 的一个收敛圆．特别地，当 $P_{1}=f(P_{1})$ 时，则称点 $P_{1}$ 为映射 $f$ 下的不动点． 2022-04-17 20:49:35
24338 5927c4f450ce8400087afa2b 高中 解答题 高考真题 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足递推关系式：$2a_{n+1}=1-a_{n}^{2}(n\geqslant 1,n\in\mathbb N)$，且 $0<a_{1}<1$． 2022-04-17 20:48:35
24335 5927d9c950ce840007247a9f 高中 解答题 高考真题 在数列 $\{a_{n}\}$ 中，$a_{1}=0$，且对任意 $k\in\mathbb N^{*}$，$a_{2k-1},a_{2k},a_{2k+1}$ 成等差数列，其公差为 $d_{k}$． 2022-04-17 20:47:35
24333 592e1859eab1df00095843ee 高中 解答题 高考真题 数列 $\{a_n\},\{b_n\}(n=1,2,\cdots)$ 由下列条件确定：
① $a_1<0,b_1>0$；
② 当 $k\geqslant2$ 时，$a_k$ 与 $b_k$ 满足：
当 $a_{k-1}+b_{k-1}\geqslant0$ 时，$a_k=a_{k-1},b_k=\dfrac{a_{k-1}+b_{k-1}}{2}$；
当 $a_{k-1}+b_{k-1}<0$ 时，$a_k=\dfrac{a_{k-1}+b_{k-1}}{2}$，$b_k=b_{k-1}$．		 2022-04-17 20:46:35
24331 592e2ed2eab1df000958441e 高中 解答题 高中习题 设集合 $W$ 是满足下列两个条件的无穷数列 $\{a_n\}$ 的集合：
① $\dfrac{a_n+a_{n+2}}{2}\leqslant a_{n+1}$；
② $a_n\leqslant M$，其中 $n\in\mathbb N^*$，$M$ 是与 $n$ 无关的常数．		 2022-04-17 20:45:35
23868 59083f71060a05000bf291b7 高中 解答题 高中习题 已知 $f(x)=\dfrac {x\ln x}{x-1}+a$，其中 $a>0$． 2022-04-17 20:31:31
23867 590830cc060a05000980aff5 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_0=\dfrac 12$，$a_n=a_{n-1}+\dfrac 1{n^2}a_{n-1}^2$（$n\in\mathbb N^*$），求证：$\dfrac{n+1}{n+2}<a_n<n$（$n\in\mathbb N^*$）． 2022-04-17 20:31:31
23860 59084e47060a05000980b0b8 高中 解答题 高中习题 已知等差数列 $\{a_n\}$ 中包含 $1$ 和 $\sqrt 2$，求证：数列 $\{a_n\}$ 中的任意不同三项不能构成等比数列． 2022-04-17 20:27:31
23796 590ace126cddca000a081a13 高中 解答题 高考真题 对于数集 $X=\{-1,x_1,x_2,\cdots ,x_n\}$，其中 $0<x_1<x_2<\cdots <x_n$，$n\geqslant 2$．定义向量集 $Y=\{\overrightarrow a\mid \overrightarrow a=(s,t),s,t\in X\}$，若对任意 $\overrightarrow a_1\in Y$，存在 $\overrightarrow a_2\in Y$，使得 $\overrightarrow a_1\cdot \overrightarrow a_2=0$，则称 $X$ 具有性质 $P$．例如 $\{-1,1,2\}$ 具有性质 $P$． 2022-04-17 20:53:30
23698 59ba35d398483e0009c73106 高中 解答题 高中习题 已知 $n$ 是正整数，数列 $\{a_k\}$ 满足 $a_1=\dfrac{1}{n(n+1)}$，且\[a_{k+1}=-\dfrac{1}{k+n+1}+\dfrac nk\sum_{i=1}^ka_i,\]其中 $k=1,2,\cdots$． 2022-04-17 20:01:30
23691 59ba35d398483e0009c7312c 高中 解答题 高中习题 求证：$\sqrt{2012+\sqrt{2011+\sqrt{\cdots+\sqrt{2+\sqrt 1}}}}<46$． 2022-04-17 20:56:29
23142 59cb8607778d470007d0f647 高中 解答题 高中习题 已知 $n\in\mathbb N^*$，求证：$\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+\cdots+\sqrt n}}}<2$． 2022-04-17 20:47:24
23141 59cb92c21d3b2000088b6c8b 高中 解答题 高中习题 证明：$\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt {3+\cdots +\sqrt n}}}<2$． 2022-04-17 20:47:24
23131 59099cca38b6b4000adaa2b4 高中 解答题 自招竞赛 已知函数 $f_1(x)=f(x)=x(x-1)$，$f_n(x)=f\left(f_{n-1}(x)\right)$，其中 $n\geqslant 2$．求证： 2022-04-17 20:43:24
23123 590a92626cddca000a0818b2 高中 解答题 高考真题 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=\dfrac 12$ 且 $a_{n+1}=a_n-a_n^2$（$n\in\mathbb N^*$）． 2022-04-17 20:39:24
23094 590adc726cddca00092f7080 高中 解答题 高中习题 将 $1$ 到 $n$ 的 $n$ 个正整数按下面的方法排成一个排列，要求：除左边的第一个数外，每个数都与它左边（未必相邻）的某个数相差 $1$，将此种排列称为“$n$ 排列”．比如“$2$ 排列”为当 $n=2$ 时，有 $1,2$；$2,1$；共 $2$ 种排列．“$3$ 排列”为当 $n=3$ 时，有 $1,2,3$；$2,1,3$；$2,3,1$；$3,2,1$；共 $4$ 种排列． 2022-04-17 20:23:24
23061 590c243c857b420007d3e4c6 高中 解答题 高中习题 非负有理数列 $A_1,A_2,A_3,\cdots$ 满足 $\forall m,n\in\mathbb N^*,A_m+A_n=A_{mn}$，证明：该数列中必然存在相同的数． 2022-04-17 20:04:24
23053 590c3213857b4200085f85d6 高中 解答题 高中习题 设 $f(x)=\dfrac 1{x+1},x>0$，对任意 $n\in \mathbb N$，定义 $f_0(x)=x$，$f_{n+1}(x)=f(f_{n}(x))$，$\displaystyle F_n(x)=\sum\limits_{k=0}^nf_{k}(x)$．证明：对任意 $x>y>0$，均有 $F_n(x)>F_n(y)$． 2022-04-17 20:00:24
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