题目 已知 $f(x)=\dfrac {x\ln x}{x-1}+a$，其中 $a>0$． 问题1 求 $f(x)$ 的单调性； 答案1 函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 和 $(1,+\infty)$ 上单调递增 解析1 函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=\dfrac{x-1-\ln x}{(x-1)^2},$$而我们熟知 $\ln x\leqslant x-1$，因此 $f'(x)\geqslant 0$，因此函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 和 $(1,+\infty)$ 上单调递增． 备注1 问题2 若 $g(x)=(x^2-x)\cdot f(x)$，且方程 $g(x)=m$ 有两个不同的实根 $x_1,x_2$，求证：$x_1+x_2>1$． 答案2 略 解析2 用反证法．假设 $x_1+x_2\leqslant 1$，不妨设 $x_1<x_2$，则有 $x_1,x_2\in (0,1)$ 且$$(x_1-x_2)(x_1+x_2-1)\geqslant 0,$$也即$$0>x_1^2-x_1>x_2^2-x_2,$$结合 $f(x)>0$，可得$$(x_2^2-x_2)\cdot f(x_2)=(x_1^2-x_1)\cdot f(x_1)\geqslant (x_2^2-x_2)\cdot f(x_1),$$从而 $f(x_2)\leqslant f(x_1)$，进而 $x_2\leqslant x_1$，与 $x_1<x_2$ 矛盾．<br/>综上，原命题得证． 备注2 注意到 $x^2-x$ 的对称轴恰好是 $x=\dfrac 12$，结合第 $(1)$ 小题的提示可以迅速化简问题．<br/>每日一题[568]巧借东风．