证明：$\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt {3+\cdots +\sqrt n}}}<2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
当 $n=1,2$ 时，命题显然成立．下面考虑当 $n\geqslant 3$ 时．
对给定的 $n$，记 $a_0=\sqrt n$，且\[a_{k}=\sqrt{(n-k)+a_{k-1}},\]其中 $k=1,2,\cdots,n-1$．下面给出
引理 $a_k<\sqrt{n-k+1}+\dfrac 12$，其中 $k=1,2,\cdots n$．
证明 当 $k=1$ 时，引理即\[\sqrt{(n-1)+\sqrt{n}}<\sqrt{n}+\dfrac 12,\]即\[n-1+\sqrt n<n+\sqrt n+\dfrac 14,\]显然成立．若引理对 $k$ 成立，则\[\begin{split} a_{k+1}&=\sqrt{(n-k-1)+a_k}\\
&<\sqrt{(n-k-1)+\sqrt{n-k+1}+\dfrac 12}\\
&<\sqrt{n-k}+\dfrac 12,\end{split}\]其中最后一步不等式即\[\sqrt{n-k+1}+\sqrt{n-k}>\dfrac 43,\]因此引理得证．
根据引理，可得\[a_{n-1}<\sqrt 2+\dfrac 12<2,\]原命题得证．
对给定的 $n$，记 $a_0=\sqrt n$，且\[a_{k}=\sqrt{(n-k)+a_{k-1}},\]其中 $k=1,2,\cdots,n-1$．下面给出
&<\sqrt{(n-k-1)+\sqrt{n-k+1}+\dfrac 12}\\
&<\sqrt{n-k}+\dfrac 12,\end{split}\]其中最后一步不等式即\[\sqrt{n-k+1}+\sqrt{n-k}>\dfrac 43,\]因此引理得证．
根据引理，可得\[a_{n-1}<\sqrt 2+\dfrac 12<2,\]原命题得证．
答案
解析
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