求证：$\sqrt{2012+\sqrt{2011+\sqrt{\cdots+\sqrt{2+\sqrt 1}}}}<46$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，且当 $n\geqslant 2$ 时，有\[a_n=\sqrt{n+a_{n-1}},\]则原式即 $a_{2012}$．下面给出
引理 如上定义的 $\{a_n\}$ 满足 $a_n<\sqrt{n+\sqrt{2n}}$，$n\in\mathbb N^*$．
证明 当 $n=1$ 时，命题显然成立；
假设命题当 $n=k$（$k\in\mathbb N^*$）时成立，则有 $a_k<\sqrt{k+\sqrt{2k}}$．当 $n=k+1$ 时，有\[a_{k+1}=\sqrt{k+1+a_k}<\sqrt{k+1+\sqrt{k+\sqrt{2k}}}<\sqrt{k+1+\sqrt{2(k+1)}},\]因此命题对 $n=k+1$ 也成立；
综上所述，引理得证．
根据引理，可得\[a_{2012}<\sqrt{2012+\sqrt{2\cdot 2012}}<46,\]原命题得证．
假设命题当 $n=k$（$k\in\mathbb N^*$）时成立，则有 $a_k<\sqrt{k+\sqrt{2k}}$．当 $n=k+1$ 时，有\[a_{k+1}=\sqrt{k+1+a_k}<\sqrt{k+1+\sqrt{k+\sqrt{2k}}}<\sqrt{k+1+\sqrt{2(k+1)}},\]因此命题对 $n=k+1$ 也成立；
综上所述，引理得证．
根据引理，可得\[a_{2012}<\sqrt{2012+\sqrt{2\cdot 2012}}<46,\]原命题得证．
答案
解析
备注
