设 $f(x)=\dfrac 1{x+1},x>0$，对任意 $n\in \mathbb N$，定义 $f_0(x)=x$，$f_{n+1}(x)=f(f_{n}(x))$，$\displaystyle F_n(x)=\sum\limits_{k=0}^nf_{k}(x)$．证明：对任意 $x>y>0$，均有 $F_n(x)>F_n(y)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
要证明的结论即函数 $F_n(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增．
先分析每一个函数 $f_k(x)$：$f_{0}(x)=x$ 为增函数，$f(x)=\dfrac {1}{1+x}$ 是一个减函数，每个单调函数与 $f(x)$ 复合后单调性均改变，从而有 $f_{1}(x)$ 为减函数，$f_{2}(x)$ 为增函数，$f_{3}(x)$ 为减函数，$\cdots$，即 $f_k(x)$ 的单调性交替变化．
于是我们得到函数 $f_{2k}(x)$ 为增函数，函数 $f_{2k+1}(x)$ 为减函数（证明过程可以用数学归纳法严格写出）．
我们尝试考虑相邻两个函数的和 $f_{2k}(x)+f_{2k+1}(x)$：
当 $k=0$ 时，由对勾函数的单调性知：$$f_0(x)+f_1(x)=x+\dfrac{1}{1+x}=(x+1)+\dfrac {1}{1+x}-1$$单调递增（注意函数的定义域为 $(0,+\infty)$）．
当 $k=1$ 时，由 $f_n(x)$ 的定义知$$f_2(x)+f_3(x)=f_0[f_2(x)]+f_1[f_2(x)],$$相当于外层函数 $f_0(x)+f_1(x)$ 与内层函数 $f_2(x)$ 的复合．因为 $f_2(x)$ 为增函数，所以 $f_2(x)+f_3(x)$ 也为增函数．类似地，函数$$f_{2k}(x)+f_{2k+1}(x)$$可以看成外层函数 $f_0(x)+f_1(x)$ 与内层函数 $f_{2k}(x)$ 的复合，而 $f_{2k}(x)$ 为增函数，所以 $f_{2k}(x)+f_{2k+1}(x)$ 也为增函数．于是对函数 $F_k(x)$ 我们两项两项考虑，即可得到单调性：
当 $n=2m+1,m\in \mathbb N$ 时，$$F_n(x)=[f_0(x)+f_1(x)]+[f_{2}(x)+f_{3}(x)]+\cdots+[f_{2m}(x)+f_{2m+1}(x)]$$单调递增；
当 $n=2m,m\in \mathbb N$ 时，$$F_n(x)=[f_0(x)+f_1(x)]+[f_{2}(x)+f_{3}(x)]+\cdots+[f_{2m-2}(x)+f_{2m-1}(x)]+f_{2m}(x)$$单调递增．
从而对任意 $x>y>0$，均有 $F_n(x)>F_n(y)$．
先分析每一个函数 $f_k(x)$：$f_{0}(x)=x$ 为增函数，$f(x)=\dfrac {1}{1+x}$ 是一个减函数，每个单调函数与 $f(x)$ 复合后单调性均改变，从而有 $f_{1}(x)$ 为减函数，$f_{2}(x)$ 为增函数，$f_{3}(x)$ 为减函数，$\cdots$，即 $f_k(x)$ 的单调性交替变化．
于是我们得到函数 $f_{2k}(x)$ 为增函数，函数 $f_{2k+1}(x)$ 为减函数（证明过程可以用数学归纳法严格写出）．
我们尝试考虑相邻两个函数的和 $f_{2k}(x)+f_{2k+1}(x)$：
当 $k=0$ 时，由对勾函数的单调性知：$$f_0(x)+f_1(x)=x+\dfrac{1}{1+x}=(x+1)+\dfrac {1}{1+x}-1$$单调递增（注意函数的定义域为 $(0,+\infty)$）．
当 $k=1$ 时，由 $f_n(x)$ 的定义知$$f_2(x)+f_3(x)=f_0[f_2(x)]+f_1[f_2(x)],$$相当于外层函数 $f_0(x)+f_1(x)$ 与内层函数 $f_2(x)$ 的复合．因为 $f_2(x)$ 为增函数，所以 $f_2(x)+f_3(x)$ 也为增函数．类似地，函数$$f_{2k}(x)+f_{2k+1}(x)$$可以看成外层函数 $f_0(x)+f_1(x)$ 与内层函数 $f_{2k}(x)$ 的复合，而 $f_{2k}(x)$ 为增函数，所以 $f_{2k}(x)+f_{2k+1}(x)$ 也为增函数．于是对函数 $F_k(x)$ 我们两项两项考虑，即可得到单调性：
当 $n=2m+1,m\in \mathbb N$ 时，$$F_n(x)=[f_0(x)+f_1(x)]+[f_{2}(x)+f_{3}(x)]+\cdots+[f_{2m}(x)+f_{2m+1}(x)]$$单调递增；
当 $n=2m,m\in \mathbb N$ 时，$$F_n(x)=[f_0(x)+f_1(x)]+[f_{2}(x)+f_{3}(x)]+\cdots+[f_{2m-2}(x)+f_{2m-1}(x)]+f_{2m}(x)$$单调递增．
从而对任意 $x>y>0$，均有 $F_n(x)>F_n(y)$．
答案
解析
备注
