题目 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=\dfrac 12$ 且 $a_{n+1}=a_n-a_n^2$（$n\in\mathbb N^*$）． 问题1 证明：$1\leqslant \dfrac{a_n}{a_{n+1}}\leqslant 2$（$n\in\mathbb N^*$）； 答案1 略 解析1 注意到$$\dfrac{a_n}{a_{n+1}}=\dfrac{1}{1-a_n},$$于是只需要证明$$0<a_n\leqslant \dfrac 12,$$下面通过数学归纳法证明该命题．<br/>当 $n=1$ 时，$a_1=\dfrac 12$ 命题显然成立；<br/>假设当 $n=k$，$k\in\mathbb N^*$ 时命题成立，则当 $n=k+1$ 时，有$$a_{n+1}=\dfrac 14-\left(\dfrac 12-a_n\right)^2,$$显然有$$0<a_{n+1}\leqslant \dfrac 12$$成立．<br/>综上，原命题得证． 备注1 问题2 设数列 $\left\{a_n^2\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，证明：$\dfrac{1}{2(n+2)}\leqslant\dfrac{S_n}{n}\leqslant \dfrac{1}{2(n+1)}$（$n\in\mathbb N^*$）． 答案2 略 解析2 注意到$$a_n^2=a_n-a_{n+1},$$于是累加得$$S_n=a_1-a_{n+1}=\dfrac 12-a_{n+1},$$因此欲证明命题为$$\frac{n}{2(n+2)}\leqslant \dfrac 12-a_{n+1}\leqslant \dfrac{n}{2(n+1)},$$整理得$$\dfrac{1}{2n+2}\leqslant a_{n+1}\leqslant\dfrac{1}{n+2},$$下面证明这个不等式．<br/>根据已知，有$$\dfrac{1}{a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_n}=\dfrac{a_n}{a_{n+1}},$$所以有$$1\leqslant\dfrac{1}{a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_n}\leqslant 2,$$于是累加得$$n\leqslant \dfrac{1}{a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_1}\leqslant 2n,$$整理即得$$n+2\leqslant \dfrac{1}{a_{n+1}}\leqslant 2n+2,$$因此原命题得证． 备注2 在本问题中，数列 $\left\{a_n\right\}$ 单调递减趋于不动点 $0$，而第二问需要估计数列 $\left\{a_n\right\}$ 的上下界．常用方法基本是考虑$$a_{n+1}-a_n,a_{n+1}^2-a_n^2,\dfrac{1}{a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_n},\cdots$$等差分数列的非零估计．<br/>每日一题[155]数列的上下界估计．