已知函数 $f_1(x)=f(x)=x(x-1)$，$f_n(x)=f\left(f_{n-1}(x)\right)$，其中 $n\geqslant 2$．求证：
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛山东省预赛
【标注】
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当 $x>2$ 时，$f_n(x)$ 没有零点；标注答案略解析由于当 $x>2$ 时，$f(x)>2$，因此可以递推至 $f_n(x)>2$．
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当 $1\leqslant x\leqslant 2$ 时，$f_n(x)$ 至少有 $n$ 个零点．标注答案略解析用数学归纳法证明．
当 $n=1$ 时，$f(x)=x(x-1)$ 在 $[1,2]$ 上有零点为 $1$；
假设命题对 $n$ 成立，即 $f_n(x)$ 至少有 $n$ 个零点，从小到大设为 $x_i$，$i=1,2,\cdots,n$．
考虑函数 $f_{n+1}(x)=f\left(f_{n}(x)\right)$ 的零点，即$$f_n(x)=0 \text{或} f_n(x)=1,$$第一个方程根据归纳假设有根 $x=x_i$，$i=1,2,\cdots,n$．而另一方面，根据$$\begin{cases}f_n\left(x_n\right)-1=-1<0,\\f_n(2)-1=1>0,\end{cases}$$因此由零点的存在性定理可得方程 $f_n(x)=1$ 至少有一个在 $\left(x_n,2\right)$ 上的根．
于是函数 $f_{n+1}(x)$ 至少有 $n+1$ 个零点，命题对 $n+1$ 也成立．
综上，命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
