已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_0=\dfrac 12$，$a_n=a_{n-1}+\dfrac 1{n^2}a_{n-1}^2$（$n\in\mathbb N^*$），求证：$\dfrac{n+1}{n+2}<a_n<n$（$n\in\mathbb N^*$）．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
先用数学归纳法证明 $0<a_n<n$（$n\in\mathbb N^*$）．
当 $n=1$ 时，有 $a_1=\dfrac 34$ 符合题意．
假设当 $n=k$ 时命题成立，即 $0<a_k<k$（$k\in\mathbb N^*$），则当 $n=k+1$ 时，有$$a_{k+1}=a_k+\dfrac{a_{k}^2}{(k+1)^2}<k+\dfrac{k^2}{(k+1)^2}<k+1,$$因此当 $n=k+1$ 时命题依然成立．
综上所述，$0<a_n<n$（$n\in\mathbb N^*$）．
接下来，考虑到$$\dfrac{1}{a_n}=\dfrac{n^2}{a_{n-1}(n^2+a_{n-1})}=\dfrac{1}{a_{n-1}}-\dfrac{1}{n^2+a_{n-1}},$$因此\[\begin{split} \dfrac{1}{a_0}-\dfrac{1}{a_n}&=\dfrac 1{1^2+a_0}+\dfrac 1{2^2+a_1}+\cdots +\dfrac{1}{n^2+a_{n-1}} \\ &>\dfrac{1}{1^2+1}+\dfrac{1}{2^2+2}+\cdots +\dfrac{1}{n^2+n}\\ &=\left(1-\dfrac 12\right)+\left(\dfrac 12-\dfrac 13\right)+\cdots +\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right) \\ & =1-\dfrac{1}{n+1},\end{split}\]即$$2-\dfrac{1}{a_n}>1-\dfrac{1}{n+1},$$整理即得$$a_n>\dfrac{n+1}{n+2},n\in\mathbb N^*.$$这样我们就证明了 $\dfrac{n+1}{n+2}<a_n<n$（$n\in\mathbb N^*$）．
当 $n=1$ 时，有 $a_1=\dfrac 34$ 符合题意．
假设当 $n=k$ 时命题成立，即 $0<a_k<k$（$k\in\mathbb N^*$），则当 $n=k+1$ 时，有$$a_{k+1}=a_k+\dfrac{a_{k}^2}{(k+1)^2}<k+\dfrac{k^2}{(k+1)^2}<k+1,$$因此当 $n=k+1$ 时命题依然成立．
综上所述，$0<a_n<n$（$n\in\mathbb N^*$）．
接下来，考虑到$$\dfrac{1}{a_n}=\dfrac{n^2}{a_{n-1}(n^2+a_{n-1})}=\dfrac{1}{a_{n-1}}-\dfrac{1}{n^2+a_{n-1}},$$因此\[\begin{split} \dfrac{1}{a_0}-\dfrac{1}{a_n}&=\dfrac 1{1^2+a_0}+\dfrac 1{2^2+a_1}+\cdots +\dfrac{1}{n^2+a_{n-1}} \\ &>\dfrac{1}{1^2+1}+\dfrac{1}{2^2+2}+\cdots +\dfrac{1}{n^2+n}\\ &=\left(1-\dfrac 12\right)+\left(\dfrac 12-\dfrac 13\right)+\cdots +\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right) \\ & =1-\dfrac{1}{n+1},\end{split}\]即$$2-\dfrac{1}{a_n}>1-\dfrac{1}{n+1},$$整理即得$$a_n>\dfrac{n+1}{n+2},n\in\mathbb N^*.$$这样我们就证明了 $\dfrac{n+1}{n+2}<a_n<n$（$n\in\mathbb N^*$）．
答案
解析
备注
