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已知定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 均为周期函数，若对于任意实数 $a$，相应的函数 $h_a(x)=f(x+a)-f(x)$ 或为常值函数或有最小正周期，且 $f(x)$ 与 $g(x)$ 中至少有一个有界，则 $f(x)+g(x)$ 为周期函数的充要条件是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 有可公度之周期（即周期的比值为有理数）．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的周期性
  • 方法
    >
    论述方式
    >
    反证法
【答案】
略
【解析】
充分性显然．下面用反证法来证明必要性．
若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 无可公度之周期，但存在 $t>0$，使得对任意实数 $x$，均有\[f(x+t)+g(x+t)=f(x)+g(x),\]即\[f(x+t)-f(x)=g(x)-g(x+t).\]考虑函数\[h_t(x)=f(x+t)-f(x)=g(x)-g(x+t),\]由条件知，$h_t(x)$ 或为常值函数或有最小正周期．
情形一 $h_t(x)$ 为常值函数．
若 $h_t(x)=f(x+t)-f(x)=g(x)-g(x+t)=0$，则 $t$ 即为 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的公共周期，与 $f(x)$ 和 $g(x)$ 无可公度之周期的假设矛盾．
若 $h_t(x)=C\ne 0$，不妨设 $f(x)$ 有界，则对于任意 $x=x_0$，有\[\begin{split}
h\left(x_0\right)=f\left(x_0+t\right)-f\left(x_0\right)&=C,\\
h\left(x_0+t\right)=f\left(x_0+2t\right)-f\left(x_0+t\right)&=C,\\
&\vdots\\
h\left[x_0+(n-1)t\right]=f\left(x_0+nt\right)-f\left[x_0+(n-1)t\right]&=C,
\end{split}\]将以上 $n$ 个等式两边分别相加，得\[f\left(x_0+nt\right)-f\left(x_0\right)=nC,\]故\[
\left|f\left(x_0+nt\right)\right|\geqslant n|C|-\left|f\left(x_0\right)\right|,\]所以当 $n\to +\infty$ 时，有\[
\left|f\left(x_0+nt\right)\right|\to +\infty,\]与 $f(x)$ 有界的假设矛盾．
因此 $h_t(x)$ 不可能为常值函数．
情形二 $h_t(x)$ 有最小正周期 $t_0$．
分别取 $f(x)$ 的一个周期 $t_1$，$g(x)$ 的一个周期 $t_2$，则 $t_1$ 与 $t_2$ 也是 $h_t(x)$ 的周期，故有\[t_1=m_1t_0, t_2=m_2t_0, m_1,m_2\in\mathbb{Z},\]于是 $\dfrac{t_1}{t_2}=\dfrac{m_1}{m_2}\in \mathbb{Q}$ 与 $f(x)$ 和 $g(x)$ 无可公度之周期的假设矛盾．
因此 $h_t(x)$ 不可能有最小正周期．
综合情形一与情形二可知充分性成立．
答案 解析 备注
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