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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
21347 5966c633030398000bbee7aa 高中 解答题 高中习题 已知 $A$ 是椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的右顶点，弦 $PQ$（不过点 $A$）的斜率为定值 $k$，求证：$\triangle APQ$ 的外接圆恒过不同于点 $A$ 的另一点 $B$，并求出 $B$ 点坐标． 2022-04-17 20:08:08
21346 590ad03d6cddca00078f3994 高中 解答题 高中习题 已知椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$，$D$ 为其左顶点．若存在直线 $l$ 过点 $M(t,0)$（其中 $-2<t<2$）交椭圆于 $A,B$ 两点，使 $S_{\triangle AOB}=\lambda S_{\triangle AOD}$，则称 $M$ 为 $\lambda$ 分点． 2022-04-17 20:08:08
21345 590acce16cddca0008610ebb 高中 解答题 高中习题 在椭圆 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$ 中，直线 $l$ 与椭圆交于 $A,B$ 两点，直线 $AB$ 不过点 $P(2,0)$，且以 $AB$ 为直径的圆恒过点 $P(2,0)$，求证：直线 $AB$ 恒过定点，并求该定点的坐标． 2022-04-17 20:07:08
21344 5965de82ca90510008f51dc9 高中 解答题 高中习题 已知 $A,B$ 是椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上的两点，$O$ 为坐标原点，且 $OA\perp OB$，求证：$O$ 到直线 $AB$ 的距离为定值． 2022-04-17 20:07:08
21343 59b62304b049650007282ffd 高中 解答题 高中习题 已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的长轴上一点 $M(m,0)$，垂直于 $x$ 轴的直线 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $N\left(\dfrac{a^2}{m},0\right)$．过 $M$ 且斜率不为 $0$ 的直线与椭圆交于 $A,B$ 两点，分别过 $A,B$ 作直线 $l$ 的垂线，垂足为 $A_1,B_1$．设 $\triangle MAA_1$，$\triangle MBB_1$，$\triangle A_1B_1M$ 的面积分别为 $S_1,S_2,S_3$，求证：$\dfrac{S_1S_2}{S_3^2}$ 为定值． 2022-04-17 20:07:08
21342 590989c039f91d0008f0507c 高中 解答题 高中习题 已知 $MN$ 是过椭圆 $\dfrac{x^2}9+\dfrac{y^2}5=1$ 的左焦点 $F$ 的直线（$M,N$ 在椭圆上），$A(1,0)$ 是椭圆长轴上的一个定点．直线 $MA,NA$ 分别交椭圆于 $P,Q$，求证：直线 $MN$ 与直线 $PQ$ 的斜率之比为定值． 2022-04-17 20:06:08
21053 5c6babc6210b281db9f4c8bd 高中 解答题 自招竞赛 菱形 $PQRS$ 内接于矩形 $ABCD$，其中 $P$，$Q$，$R$ 和 $S$ 分别是线段 $AB$，$BC$，$CD$ 和 $DA$ 的内点（非端点），已知 $PB=15$，$BQ=20$，$PR=30$，$QS=40$．设既约分数 $\frac{m}{n}$ 为 $ABCD$ 的周长，试求 $m+n$． 2022-04-17 20:26:05
21043 5c6bd2bc210b281db9f4c8e1 高中 解答题 自招竞赛 在帕斯卡三角形中，每个位置的数都等于它上面两个数的和．这个三角形的最初几行是\[1\]\[1\qquad1\]\[1\qquad2\qquad1\]\[1\qquad3\qquad3\qquad1\]\[1\qquad4\qquad6\qquad4\qquad1\]\[1\qquad5\qquad10\qquad10\qquad5\qquad1\]\[1\qquad6\qquad15\qquad20\qquad15\qquad6\qquad1\]那么在帕斯卡三角形的哪一行中将有三个连续的位置上的数的比为 $3:4:5$？ 2022-04-17 20:21:05
21030 5c6cbdbc210b281db9f4c936 高中 解答题 自招竞赛 一次竞选中，某候选人在国内安排了竞选旅行，我们不妨设他乘飞机．第一天他到正东方某地，第二天接着向正北方向飞到某地，第三天接着向正西方飞到某地，第四天接着向正南方飞到某地，第五天他接着又向正东方飞到某地……如果第 $n$ 天他飞行程为 $\frac{{{n}^{2}}}{2}$ 英里，问从他的出发点到第40天旅行的终点共有多少英里？ 2022-04-17 20:13:05
21022 5c6cbe14210b281db9f4c955 高中 解答题 自招竞赛 $\vartriangle ABC$ 的顶点为 $A\left( 0 ,0 \right)$，$B\left( 0 ,420 \right)$ 和 $C\left( 560 ,0 \right)$，一个骰子的六个面中，有两个面刻有 $A$ 字，两个面刻有 $B$ 字，两个面刻有 $C$ 字，点 ${{P}_{1}}\left( k, m \right)$ 位于 $\vartriangle ABC$ 的内部，其他点 ${{P}_{2}}$，${{P}_{3}}$，${{P}_{4}}$，…是按下面的规定通过反复投掷骰子产生的．在 ${{P}_{n}}$ 确定之后如果投出的骰子显示字 $L\left( L\in \left\{ A ,B, C \right\} \right)$，那么 ${{P}_{n+1}}$ 为线段 ${{P}_{n}}L$ 的中点，设 ${{P}_{7}}\left( 14 ,92 \right)$，求 $k+m$． 2022-04-17 20:09:05
21013 5c6e080b210b281db9f4c9c7 高中 解答题 自招竞赛 在坐标平面上画出 $y=k$，$y=\sqrt{3}x+2k$，$y=-\sqrt{3}x+2k$，其中 $k=-10$，$-9$，$-8$，$\cdots$，$9$，$10$ 的图像，这 $63$ 条直线可将平面切为若干个等边三角形．求边长为 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 的等边三角形的个数． 2022-04-17 20:04:05
21011 5c6e082c210b281dbaa93574 高中 解答题 自招竞赛 点 $\left( 0, 0 \right)$，$\left( a, 11 \right)$ 和 $\left( b ,37 \right)$ 是一个等边三角形的顶点．求 $a\cdot b$ 的值． 2022-04-17 20:02:05
21001 5c6e14b2210b281db9f4ca04 高中 解答题 自招竞赛 两个半径分别为3和6的圆外切，并且它们内切于半径为9的圆，一条大圆的弦是两个小圆的外公切线，如图所示．求这条弦长度的平方． 2022-04-17 20:55:04
20974 5c6e512b210b287fc7b09645 高中 解答题 自招竞赛 一辆汽车向正东方向以 $\frac{2}{3}$ 英里/分钟的速度匀速行驶．与此同时，一股半径为51英里的龙卷风，以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 英里/分钟的速度向东南方向移动．当 $t=0$ 时，龙卷风中心在汽车的正北方110英里处．在 $t={{t}_{1}}$ 时刻，汽车进入了风暴范围．$t={{t}_{2}}$ 时刻，汽车驶出风暴范围．求 $\frac{1}{2}\left( {{t}_{1}}+{{t}_{2}} \right)$．（${{t}_{1}}$，${{t}_{2}}$ 均以分钟计） 2022-04-17 20:40:04
20950 5c6f62c1210b2801505273c0 高中 解答题 自招竞赛 平行四边形的顶点坐标为 $\left( 10,45 \right)$，$\left( 10,114 \right)$，$\left( 28,153 \right)$ 和 $\left( 28,84 \right)$．一条通过原点的直线将此平行四边形分成两个全等的多边形，此直线的斜率为 $\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 为互素的正整数．求 $m+n$ 的值． 2022-04-17 20:29:04
20946 5c6f62eb210b2801505273c7 高中 解答题 自招竞赛 第一象限坐标平面上的一个变换使得每个点 $\left( x ,y \right)$ 映射成为 $\left( \sqrt{x} ,\sqrt{y} \right)$．四边形 $ABCD$ 各顶点的坐标为 $A\left( 900, 300 \right)$，$B\left( 1800, 600 \right)$，$C\left( 600, 1800 \right)$，$D\left( 300 ,900 \right)$．用 $k$ 表示四边形 $ABCD$ 的映象所围成的图形的面积．求不超过 $k$ 的最大整数． 2022-04-17 20:27:04
20927 5c6f8b1f210b280151d74a2f 高中 解答题 自招竞赛 大草原的中央，一辆消防车停在相互垂直的两条高速公路程的交叉处，此消防车以每小时50英里的速度沿高速公路程行驶，以每小时14英里的速度横穿草原，由该车在6分钟内能到达的地点所围成的图形的面积为 $\frac{m}{n}$ 平方英里，这里 $m$，$n$ 为互素的正整数．求 $m+n$． 2022-04-17 20:17:04
20900 5c6f96a5210b280150527479 高中 解答题 自招竞赛 在某个特定的圆中，角度为 $d$ 的弧对应的弦长是 $22\operatorname{cm}$，角度为 $2d$ 的弧对应的弦长比角度为 $3d$ 的弧对应的弦长大 $20\operatorname{cm}$，其中 $d<120$．角度为 $3d$ 的弧对应的弦长可以表示为 $-m+\sqrt{n}\operatorname{cm}$，其中 $12\sqrt{6}$，$n$ 是正整数．求 $LOM$． 2022-04-17 20:03:04
20895 5c78f212210b28428f14cfc0 高中 解答题 自招竞赛 设 $R=\left( 8, 6 \right)$．点 $P$ 和点 $Q$ 分别在直线 $8y=15x$ 和 $10y=3x$ 上，且点 $R$ 是 $PQ$ 的中点，若 $PQ$ 的长度是 $\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 是互素的正整数．求 $m+n$． 2022-04-17 20:01:04
20831 5c74abc2210b284290fc22c6 高中 解答题 自招竞赛 已知虫子从一个等边三角形的一个顶点出发，每次虫子随机等可能地爬向除自己所在定点另外两个顶点中的一个．假设虫子爬行10次后恰回到出发点的概率为 $\frac{m}{n}$，其中 $m n$ 为互素的正整数，求 $m+n$． 2022-04-17 20:26:03
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