一次竞选中，某候选人在国内安排了竞选旅行，我们不妨设他乘飞机．第一天他到正东方某地，第二天接着向正北方向飞到某地，第三天接着向正西方飞到某地，第四天接着向正南方飞到某地，第五天他接着又向正东方飞到某地……如果第 $n$ 天他飞行程为 $\frac{{{n}^{2}}}{2}$ 英里，问从他的出发点到第40天旅行的终点共有多少英里？
【难度】
【出处】
1993年第11届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
580
【解析】
以候选人出发点为原点建立直角坐标系，$x$ 轴的正向为东方，$y$ 轴的正向为北方，40天后，候选人所处的地点坐标为
$\left(\frac{{{1}^{2}}-{{3}^{2}}+{{5}^{2}}-{{7}^{2}}+\cdots +{{37}^{2}}-{{39}^{2}}}{2} ,\frac{{{2}^{2}}-{{4}^{2}}+{{6}^{2}}-{{8}^{2}}+\cdots+{{38}^{2}}-{{40}^{2}}}{2} \right)$
$=\left(\frac{\left( 1-3 \right)\left( 1+3 \right)+\left( 5-7 \right)\left( 5+7\right)+\cdots +\left( 37-39 \right)\left( 37+39 \right)}{2} ,\frac{\left( 2-4 \right)\left( 2+4\right)+\left( 6-8 \right)\left( 6+8 \right)+\cdots +\left( 38-40 \right)\left(38+40 \right)}{2} \right)$
$=\left( -4-12-20-\cdots-76 ,-6-14-22-\cdots -78 \right)$
$=\left(10\frac{-4-76}{2} ,10\frac{-6-78}{2} \right)$
$=\left( -400,-420 \right)$．
这样，终点与出发点的距离为 $\sqrt{{{400}^{2}}+{{420}^{2}}}=580$．
$\left(\frac{{{1}^{2}}-{{3}^{2}}+{{5}^{2}}-{{7}^{2}}+\cdots +{{37}^{2}}-{{39}^{2}}}{2} ,\frac{{{2}^{2}}-{{4}^{2}}+{{6}^{2}}-{{8}^{2}}+\cdots+{{38}^{2}}-{{40}^{2}}}{2} \right)$
$=\left(\frac{\left( 1-3 \right)\left( 1+3 \right)+\left( 5-7 \right)\left( 5+7\right)+\cdots +\left( 37-39 \right)\left( 37+39 \right)}{2} ,\frac{\left( 2-4 \right)\left( 2+4\right)+\left( 6-8 \right)\left( 6+8 \right)+\cdots +\left( 38-40 \right)\left(38+40 \right)}{2} \right)$
$=\left( -4-12-20-\cdots-76 ,-6-14-22-\cdots -78 \right)$
$=\left(10\frac{-4-76}{2} ,10\frac{-6-78}{2} \right)$
$=\left( -400,-420 \right)$．
这样，终点与出发点的距离为 $\sqrt{{{400}^{2}}+{{420}^{2}}}=580$．
答案
解析
备注
