已知 $MN$ 是过椭圆 $\dfrac{x^2}9+\dfrac{y^2}5=1$ 的左焦点 $F$ 的直线（$M,N$ 在椭圆上），$A(1,0)$ 是椭圆长轴上的一个定点．直线 $MA,NA$ 分别交椭圆于 $P,Q$，求证：直线 $MN$ 与直线 $PQ$ 的斜率之比为定值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
定值为 $\dfrac 74$
【解析】
设 $M\left(x_1,y_1\right)$，$N\left(x_2,y_2\right)$，$P\left(x_3,y_3\right)$，$Q\left(x_4,y_4\right)$．由 $M,F,N$ 三点共线，有$$\dfrac{y_1}{x_1+2}=\dfrac{y_2}{x_2+2},$$化简得$$ x_1y_2-x_2y_1=2\left(y_1-y_2\right).\qquad\cdots (*)$$直线 $MA$ 的方程为 $MA:x=\dfrac{x_1-1}{y_1}y+1$，代入椭圆方程中得$$\dfrac{5\left(x_1-1\right)^2+9y_1^2}{y_1^2}\cdot y^2+\dfrac{10\left(x_1-1\right)}{y_1}\cdot y-40=0,$$将 $9y_1^2=45-5x_1^2$ 代入，有$$\dfrac{5-x_1}{y_1^2}\cdot y^2+\dfrac{x_1-1}{y_1}\cdot y-4=0,$$从而$$y_1\cdot y_3=\dfrac{4y_1^2}{x_1-5},$$即$$y_3=\dfrac{4y_1}{x_1-5}.$$将 $y_3$ 代入直线 $MA$ 的方程，有$$x_3=\dfrac{5x_1-9}{x_1-5}.$$同理可得$$x_4=\dfrac{5x_2-9}{x_2-5},y_4=\dfrac{4y_2}{x_2-5}.$$因此直线 $PQ$ 的斜率为$$\dfrac{\dfrac{4y_1}{x_1-5}-\dfrac{4y_2}{x_2-5}}{\dfrac{5x_1-9}{x_1-5}-\dfrac{5x_2-9}{x_2-5}}=\dfrac{-20\left(y_1-y_2\right)-4\left(x_1y_2-x_2y_1\right)}{-16\left(x_1-x_2\right)},$$将（*）式代入，即得直线 $PQ$ 与直线 $MN$ 的斜率之比为 $\dfrac 74$，是定值．
答案
解析
备注
