已知 $A$ 是椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的右顶点，弦 $PQ$（不过点 $A$）的斜率为定值 $k$，求证：$\triangle APQ$ 的外接圆恒过不同于点 $A$ 的另一点 $B$，并求出 $B$ 点坐标．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left(\dfrac{a^2k^2-b^2}{a^2k^2+b^2}\cdot a,\dfrac{2abk}{a^2k^2+b^2}\cdot b\right)$
【解析】
设直线 $PQ$ 的方程为 $y=kx+m$，$\triangle APQ$ 的外接圆方程为\[x^2+y^2+Dx+Ey-a^2-Da=0,\]将直线 $PQ$ 的方程分别与圆的方程和椭圆的方程联立，对比系数后可以将 $D$ 和 $E$ 用 $m$ 表示，进而代入圆的方程整理为关于 $m$ 的代数式即可计算．
具体过程如下：
联立消元后分别得到\[\begin{split} \left(\dfrac 1{a^2}+\dfrac {k^2}{b^2}\right)x^2+\dfrac {2km}{b^2}x+\left(\dfrac {m^2}{b^2}-1\right)=0,\\
(1+k^2)x^2+(2km+kE+D)x+(m^2+Em-a^2-Da)=0,\end{split} \]于是得到$$\begin{split}\left(\dfrac 1{a^2}+\dfrac {k^2}{b^2}\right):(1+k^2)&=\dfrac {2km}{b^2}:(2km+kE+D)\\&=\dfrac {m^2-b^2}{b^2}:(m^2+Em-a^2-Da),\end{split}$$解得$$\begin{cases}D=\dfrac {k(a^2-b^2)(m^2+b^2-1)}{(m+ka)(b^2+a^2k^2)},\\E=\dfrac {(a^2-b^2)(m^2+2mka-b^2+1)}{(m+ka)(b^2+a^2k^2)},\end{cases}$$代入外接圆的方程可以整理得到一个关于 $m$ 的形式上的一元二次方程，于是 $m^2$ 与 $m$ 前面的系数均为零，得到$$\begin{cases}kx+y-ka=0,\\
(x^2+y^2-a^2)(b^2+a^2k^2)+2kay(a^2-b^2)=0,\end{cases}$$将 $y=k(a-x)$ 代入得到$$x=\dfrac {a(k^2a^2-b^2)}{k^2a^2+b^2},y=\dfrac {2kab^2}{k^2a^2+b^2}.$$因此所求的定点 $B$ 的坐标为\[\left(\dfrac{a^2k^2-b^2}{a^2k^2+b^2}\cdot a,\dfrac{2abk}{a^2k^2+b^2}\cdot b\right).\]
具体过程如下：
联立消元后分别得到\[\begin{split} \left(\dfrac 1{a^2}+\dfrac {k^2}{b^2}\right)x^2+\dfrac {2km}{b^2}x+\left(\dfrac {m^2}{b^2}-1\right)=0,\\
(1+k^2)x^2+(2km+kE+D)x+(m^2+Em-a^2-Da)=0,\end{split} \]于是得到$$\begin{split}\left(\dfrac 1{a^2}+\dfrac {k^2}{b^2}\right):(1+k^2)&=\dfrac {2km}{b^2}:(2km+kE+D)\\&=\dfrac {m^2-b^2}{b^2}:(m^2+Em-a^2-Da),\end{split}$$解得$$\begin{cases}D=\dfrac {k(a^2-b^2)(m^2+b^2-1)}{(m+ka)(b^2+a^2k^2)},\\E=\dfrac {(a^2-b^2)(m^2+2mka-b^2+1)}{(m+ka)(b^2+a^2k^2)},\end{cases}$$代入外接圆的方程可以整理得到一个关于 $m$ 的形式上的一元二次方程，于是 $m^2$ 与 $m$ 前面的系数均为零，得到$$\begin{cases}kx+y-ka=0,\\
(x^2+y^2-a^2)(b^2+a^2k^2)+2kay(a^2-b^2)=0,\end{cases}$$将 $y=k(a-x)$ 代入得到$$x=\dfrac {a(k^2a^2-b^2)}{k^2a^2+b^2},y=\dfrac {2kab^2}{k^2a^2+b^2}.$$因此所求的定点 $B$ 的坐标为\[\left(\dfrac{a^2k^2-b^2}{a^2k^2+b^2}\cdot a,\dfrac{2abk}{a^2k^2+b^2}\cdot b\right).\]
答案
解析
备注
