在椭圆 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$ 中，直线 $l$ 与椭圆交于 $A,B$ 两点，直线 $AB$ 不过点 $P(2,0)$，且以 $AB$ 为直径的圆恒过点 $P(2,0)$，求证：直线 $AB$ 恒过定点，并求该定点的坐标．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left(\dfrac 27,0\right)$
【解析】
设直线方程为 $x=my+n$，$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$．联立直线 $AB$ 与椭圆方程可得$$\left(3m^2+4\right)y^2+6mny+3n^2-12=0,$$于是由 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=0$，可得$$\left(my_1+n-2\right)\left(my_2+n-2\right)+y_1y_2=0,$$即$$\left(3m^2+4\right)(n-2)^2-6m^2n(n-2)+\left(3n^2-12\right)m^2+3n^2-12=0,$$化简得 $7n^2-16n+4=0$，解得 $n=\dfrac 27$ 或 $n=2$（舍去）．于是直线 $AB$ 恒过定点 $\left(\dfrac 27,0\right)$．
答案
解析
备注
